Ищут одно число вместо множества. Ответ — набор промежутков и отдельных значений. Во втором примере демо («ровно два различных корня») в ответ входит отдельное значение a = 0, и его потеря по критериям опускает оценку до 2 баллов.
Теряют граничные значения. Подставьте каждое найденное a в исходную задачу и проверьте, не совпали ли корни.
Пропускают вырожденный случай. Если коэффициент при старшей степени может быть нулём, уравнение перестаёт быть квадратным.
Путают «ровно два» и «хотя бы два». Лишние случаи ломают ответ.
Шпаргалка за 30 секунд
Аналитический (дискриминант, Виета)
Когда
уравнение сводится к квадратному
Ловушка
вырожденный случай
Графический в плоскости (x; y)
Когда
левая и правая части — известные графики
Ловушка
граничные касания
Параметр как переменная (плоскость (x; a))
Когда
a выражается через x
Ловушка
пропуск ОДЗ
Исследование расположения парабол и прямых
Когда
система с модулями
Ловушка
неточные границы
За баллы лесенку пишут под конкретную задачу. В первом примере демо (система, «ровно два различных решения»): 4 — верный ответ; 3 — ответ отличается только включением точек −18, −16, 0 и/или 2; 2 — найден один из промежутков или вычислительная ошибка при верных шагах; 1 — задача верно сведена к исследованию расположения частей парабол и прямых. Во втором примере 1 балл ставят за верное сведение к совокупности уравнений.
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $x^2(a+2)-|x|(2x^2-a)=a^2$ имеет ровно четыре корня.
Источник: Сборник Ященко 2027
Пример 6
ID: 00045664
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $|x|(3x^2+8a)-x^2(a+15)=a^2$ имеет ровно шесть корней.
Источник: Сборник Ященко 2027
Пример 7
ID: 00045663
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{81-x^4}-10=ax^2-a$ имеет ровно два решения.
Источник: Сборник Ященко 2027
Пример 8
ID: 00045662
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{16-x^4}+2=ax^2-9a$ имеет ровно два решения.
Источник: Сборник Ященко 2027
Пример 9
ID: 00045661
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(a-x)^{1{,}5}+5x-\left(x+\frac15(a-x)^{1{,}5}\right)\log_5(x^2-a^2)=5a-a\log_5(x^2-a^2)$ имеет ровно один корень.
Источник: Сборник Ященко 2027
Пример 10
ID: 00045660
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\left(a+\frac13(x-a)^{1{,}5}\right)\log_2(a^2-x^2)+3x-(x-a)^{1{,}5}=3a+x\log_2(a^2-x^2)$ имеет ровно два корня.
Источник: Сборник Ященко 2027
Пример 11
ID: 00043830
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
