Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00045665

Положим $t=|x|\ge0$. После переноса получаем $2t^3-(a+2)t^2-at+a^2=0$, или $(2t-a)(t^2-t-a)=0$. Разложение проверяется раскрытием скобок.

Нужны четыре различных $x$. Нулевой $t$ дал бы единственный непарный корень; он возможен только при $a=0$. При $a=0$ корни по $t$ — $0$ и $1$, то есть по $x$ их три. Поэтому $a=0$ исключаем.

При $a\gt0$ линейный множитель даёт положительный корень $a/2$. Квадратный имеет дискриминант $1+4a\gt0$, произведение корней $-a\lt0$, значит один его корень положителен, другой отрицателен.

Два положительных корня различны, кроме случая, когда $a/2$ удовлетворяет квадратному уравнению. Подстановка даёт $a^2/4-a/2-a=a(a-6)/4=0$. В положительной области исключаем $a=6$. Все остальные положительные $a$ дают четыре $x$.

При $a\lt0$ линейный корень отрицателен. Нужны два различных положительных корня квадратного. Их сумма $1$, произведение $-a\gt0$, а условие различности $1+4a\gt0$. Получаем $-1/4\lt a\lt0$.

При $a=-1/4$ квадратный корень кратный и положительный только один; при $a\lt-1/4$ действительных квадратных корней нет. Все случаи рассмотрены. Итог: $(-1/4;0)\cup(0;6)\cup(6;+\infty)$.

Проверка: при $a=1$ положительные $t=1/2$ и $(1+\sqrt5)/2$ дают четыре корня, а при $a=6$ оба положительных значения совпадают и остаются только $x=\pm3$.