Задание 19 ЕГЭ по математике №00045668

Раскроем скобки первого уравнения и разделим на $2$: $x^2+y^2-10x-4y=7$. Дополнение до квадратов даёт окружность $(x-5)^2+(y-2)^2=36$ с центром $(5;2)$ и радиусом $6$.

Второе уравнение после переноса и деления на $2$ имеет вид $x^2-y^2+2ax+4ay-3a^2=0$. Это разность квадратов $(x+a)^2-(y-2a)^2=0$, поэтому получаем две прямые $x-y+3a=0$ и $x+y-a=0$.

Каждая прямая пересекает окружность не более чем в двух точках. Для четырёх решений обе должны быть секущими, а их общая точка не должна лежать на окружности.

Расстояния центра до прямых равны $|3+3a|/\sqrt2$ и $|7-a|/\sqrt2$. Условия строгой секущей: $|a+1|\lt2\sqrt2$ и $|a-7|\lt6\sqrt2$.

Пересечение этих интервалов даёт $7-6\sqrt2\lt a\lt2\sqrt2-1$. Границы исключены: там одна из прямых касается окружности и даёт только одну точку.

Прямые пересекаются в $Q=(-a;2a)$. Подставляем её в окружность: $(a+5)^2+(2a-2)^2=36$, или $5a^2+2a-7=(a-1)(5a+7)=0$. Получаем $a=1$ и $a=-7/5$.

Оба значения находятся внутри найденного интервала, но при них две секущие имеют общую точку на окружности, поэтому различных решений только три. Исключаем их и получаем $a\in(7-6\sqrt2;-7/5)\cup(-7/5;1)\cup(1;2\sqrt2-1)$.

Проверка: при $a=0$ обе прямые секущие, их общая точка $(0;0)$ не лежит на окружности, поскольку $25+4\ne36$; решений четыре.