Задание 19 ЕГЭ по математике №00045669

Первое уравнение после раскрытия скобок и деления на $2$ равно $x^2+y^2+8x+2y+8=0$. Это окружность $(x+4)^2+(y+1)^2=9$ с центром $(-4;-1)$ и радиусом $3$.

Второе уравнение преобразуется в $x^2-y^2-4ax-2ay+3a^2=0$, то есть $(x-2a)^2-(y+a)^2=0$. Поэтому оно задаёт объединение прямых $x-y-3a=0$ и $x+y-a=0$.

Для четырёх решений каждая прямая должна пересекать окружность в двух точках. Расстояния от центра до них $|3+3a|/\sqrt2$ и $|5+a|/\sqrt2$ должны быть строго меньше $3$.

Получаем $|a+1|\lt\sqrt2$ и $|a+5|\lt3\sqrt2$. Их пересечение: $-1-\sqrt2\lt a\lt3\sqrt2-5$.

Кроме этого, нужно исключить совпадение одного решения у двух прямых. Их общая точка $Q=(2a;-a)$. Она лежит на окружности при $(2a+4)^2+(1-a)^2=9$.

Это равносильно $5a^2+14a+8=(a+2)(5a+4)=0$, то есть $a=-2$ или $a=-4/5$. Обе точки внутри найденного интервала. При них две секущие дают три различных пересечения, поэтому их исключаем.

Получаем $a\in(-1-\sqrt2;-2)\cup(-2;-4/5)\cup(-4/5;3\sqrt2-5)$. Проверка: при $a=-1$ обе прямые секущие, их общая точка $(-2;1)$ имеет квадрат расстояния до центра $8\ne9$, поэтому решения четыре. На границах интервала одно пересечение превращается в касание, и четыре решения невозможны.