Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00043827

Здесь дробь равна нулю: числитель-логарифм должен обнулиться, а знаменатель-корень — быть определённым и не равным нулю. Квадратное уравнение на $x$ раскладывается на множители, и дальше нужно отобрать корни.

Шаг 1. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель определён и не равен нулю:

$$\log_{0{,}4}\left(6x^2-13x+5ax-6a^2-13a+6\right)=0,\qquad 2x-3a+4\gt0.$$

Логарифм равен нулю, когда его аргумент равен $1$ (тогда он и положителен):

$$6x^2+(5a-13)x-6a^2-13a+5=0.$$

Шаг 2. Разложение. Подберём множители, линейные по $x$ и $a$:

$$(2x+3a-1)(3x-2a-5)=6x^2-4ax-10x+9ax-3x-6a^2-15a+2a+5=6x^2+(5a-13)x-6a^2-13a+5.$$

Корни: $x_1=\dfrac{1-3a}{2}$, $x_2=\dfrac{2a+5}{3}$.

Шаг 3. Условие на знаменатель.

— $x_1$: $1-3a-3a+4=5-6a\gt0\iff a\lt\dfrac56$;

— $x_2$: $\dfrac{4a+10}{3}-3a+4=\dfrac{22-5a}{3}\gt0\iff a\lt\dfrac{22}{5}$.

Шаг 4. Единственный корень бывает двумя способами.

— Годится ровно один из корней: $x_2$ годится, $x_1$ — нет: $\dfrac56\le a\lt\dfrac{22}{5}$. Обратный вариант ($x_1$ годится, $x_2$ нет) невозможен: из $a\lt\dfrac56$ следует $a\lt\dfrac{22}{5}$.

— Годятся оба, но совпадают: $\dfrac{1-3a}{2}=\dfrac{2a+5}{3}\iff3-9a=4a+10\iff a=-\dfrac{7}{13}$; оба условия выполнены.

Итак, подходят: $a=-\dfrac{7}{13}$ или $\dfrac56\le a\lt\dfrac{22}{5}$.

Проверим $a=1$: $x_1=-1$, знаменатель $\sqrt{-2-3+4}$ не определён; $x_2=\dfrac73$, знаменатель $\sqrt{\dfrac{14}{3}-3+4}\gt0$, аргумент логарифма: $\dfrac{294}{9}-\dfrac{91}{3}+\dfrac{35}{3}-6-13+6=\dfrac{294-273+105-117}{9}=1$. Один корень.