Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00045664

Уравнение чётное по $x$. Введём $t=|x|\ge0$: каждый положительный корень по $t$ даёт два корня $x$, а нулевой — один.

Получаем $3t^3-(a+15)t^2+8at-a^2=0$. Многочлен раскладывается: $(3t-a)(t^2-5t+a)=0$. Это можно проверить раскрытием скобок: коэффициенты при $t^2,t$ равны $-15-a$ и $3a+5a=8a$.

Для шести корней исходного уравнения нужны ровно три различных положительных корня кубического. Первый корень $t=a/3$ положителен при $a\gt0$.

Квадратный множитель имеет два различных корня при $25-4a\gt0$. Их сумма равна $5$, произведение $a$, поэтому при $a\gt0$ они оба положительны. Получаем $0\lt a\lt25/4$.

Остаётся исключить совпадение корня линейного множителя с одним из квадратных. Подставим $t=a/3$: $a^2/9-5a/3+a=a(a-6)/9$. В уже найденном интервале совпадение возможно только при $a=6$.

Поэтому подходят $a\in(0;6)\cup(6;25/4)$. Проверка особых точек: при $a=0$ появляется нулевой корень, при $a=6$ совпадают два положительных корня, при $a=25/4$ у квадратного множителя кратный корень. Ни в одном из этих случаев шести различных $x$ нет.