Иррациональные неравенства в ЕГЭ по математике профиль — неравенства, где неизвестная стоит под корнем; в кодификаторе это отдельный элемент 2.6, а решают их в рамках задания 16. Секрет в том, чтобы не возводить в квадрат вслепую, а разбирать знак правой части.
Суть простыми словами
Два типа, два правила. Первый: √f < g. Нужны три условия сразу: f ≥ 0 (корень существует), g > 0 (правая часть положительна) и f < g² (после возведения в квадрат).
Второй тип: √f > g. Здесь два случая. Если g < 0, неравенство верно везде, где корень существует (f ≥ 0). Если g ≥ 0, возводим: f > g². Ответом будет объединение двух случаев.
Пример сложнее: √x > x − 2. Случай 1: x − 2 < 0 и x ≥ 0 даёт 0 ≤ x < 2. Случай 2: x ≥ 2 и x > (x − 2)², то есть x² − 5x + 4 < 0 и 1 < x < 4; вместе с x ≥ 2 это 2 ≤ x < 4. Ответ: 0 ≤ x < 4.
Где встречается на экзамене
16 задание ЕГЭ профиль
- Что там
- Неравенство повышенного уровня, 2 балла; в демо-2027 два варианта, логарифмический и показательный, иррационального среди них нет
18 задание ЕГЭ база
- Что там
- Базовый ЕГЭ: сопоставление неравенств с их решениями
В кодификаторе элемент 2.6 отмечен и для базового, и для профильного уровня. По разметке нашего банка такие неравенства изредка попадаются и в задании 19 с параметром.
Где ошибаются
- Возводят в квадрат без условия. Для √f > g при g < 0 возведение в квадрат ломает решение; сначала разбери знак g.
- Теряют условие f ≥ 0 в первом типе. Для √(x + 2) < 3 без него получится x < 7, а верный ответ −2 ≤ x < 7: при x = −3 корня просто нет.
- Теряют второй случай. В √f > g оба случая — g < 0 и g ≥ 0 — нужно объединить.
- Путают строгость. При √f < g условие f ≥ 0 нестрогое, а f < g² строгое.
- Не проверяют границы. В примере √x > x − 2 подставь x = 4: √4 = 2, а 4 − 2 = 2, и строгое неравенство не выполняется, поэтому 4 в ответ не входит.
Шпаргалка за 30 секунд
√f < g
- Условия
- f ≥ 0; g > 0; f < g²
√f > g, случай g < 0
- Условия
- f ≥ 0
√f > g, случай g ≥ 0
- Условия
- f > g²
√f ≥ g
- Условия
- то же, но f ≥ g² во втором случае
Ответ — пересечение условий внутри одного случая и объединение случаев. Проверка: подставь число из промежутка в исходное неравенство.
Если уравнения с корнем ещё вызывают сомнения, начни с темы Иррациональные уравнения ЕГЭ профиль. Квадратные неравенства, которые остаются после возведения в квадрат, удобно решать на тренажёре Квадратные неравенства: светофор, а формат развёрнутого ответа показан в 16 задание ЕГЭ профиль. Если случаи по знаку правой части путаются, принеси свой пример на пробное занятие.