Задание 19 ЕГЭ по математике №00045667

Из первого уравнения следует $5y-10x-19=\pm2{,}5$. Получаем две параллельные прямые $2x-y=-43/10$ и $2x-y=-33/10$.

На первой показатель $4x-2y+7{,}6$ равен $-1$, на второй $1$. Поэтому рассматриваем пересечение первой прямой с окружностью центра $C=(1;5)$ и квадрата радиуса $1/a$, а второй — с окружностью того же центра и квадрата радиуса $a$.

В центре $2x-y=-3$. Расстояния до прямых равны $13/(10\sqrt5)$ и $3/(10\sqrt5)$, их квадраты $169/500$ и $9/500$.

Первая ветвь имеет две точки при $a\lt500/169$, одну при $a=500/169$ и ноль при больших $a$. Вторая имеет ноль при $a\lt9/500$, одну на границе и две при больших $a$.

Так как прямые не пересекаются, суммарное число решений равно $2,3,4,3,2$ на последовательных участках и границах, разделённых числами $9/500$ и $500/169$.

Два или три решения получаются при $0\lt a\le9/500$ либо $a\ge500/169$. Проверка: при $a=1$ обе ветви дают по две точки, поэтому четыре решения и значение исключено. Положительность параметра обеспечивает корректность обеих степеней.