Показательные и логарифмические уравнения в ЕГЭ по математике: теория, задачи и разбор

Логарифмические уравнения на ЕГЭ профиль почти всегда решаются переходом к обычному уравнению: logₐ f = c превращается в f = aᶜ. Простейшие такие уравнения и их показательные «родственники» стоят в задании 7, более сложные, с отбором корней, — в задании 14.

Суть простыми словами

Логарифм — это показатель степени: logₐ b = c означает aᶜ = b. Условия: основание a > 0 и a ≠ 1, число под логарифмом b > 0. Главные свойства при положительных x и y: logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y, logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y, logₐ xᵏ = k · logₐ x.

Показательное уравнение приводят к одному основанию. В демоверсии 2027 в задании 7 есть 4^(x − 4) = 64: так как 64 = 4³, получаем x − 4 = 3, x = 7.

Логарифмическое уравнение «снимают» по определению. Там же, в задании 7 демо: log₈(5x + 47) = 3, значит 5x + 47 = 8³ = 512, x = 93. Проверка: 5 · 93 + 47 = 512 > 0, корень подходит.

Если логарифмов два, их сначала собирают в один. Задача Адиля от 04.07.2026: log₂ x + log₂(x − 2) = 3. Тогда log₂(x(x − 2)) = 3, x² − 2x = 8, корни 4 и −2. Область допустимых значений требует x > 2, поэтому ответ 4.

Где встречается на экзамене

Профиль 2027:

• Задание 7 ЕГЭ профиль — простейшее уравнение: показательное, логарифмическое, иррациональное, квадратное или дробное. 1 балл.
• Задание 8 ЕГЭ профиль — не уравнение, а вычисление: значение выражения с логарифмами и степенями. 1 балл.
• Задание 14 ЕГЭ профиль — уравнение с развёрнутым ответом: а) решить, б) отобрать корни на отрезке. 2 балла.

Базовый уровень: задание 17 ЕГЭ база — простейшие уравнения, среди них показательные и логарифмические, 1 балл.

Где ошибаются

1. Не проверяют корни по ОДЗ. Адиль к своей задаче пишет: «проверь каждый по ОДЗ. Под логарифмом должно быть строго положительное число. Один из корней не пройдёт проверку» (04.07.2026). В его примере это x = −2.
2. Придумывают свойство log(x + y) = log x + log y. Сумма логарифмов — это логарифм произведения, а логарифм суммы не раскладывается.
3. Приравнивают показатели при разных основаниях. В 8ˣ = 2^(x + 4) сначала 8ˣ = 2³ˣ, и только потом 3x = x + 4, x = 2.
4. Выносят чётную степень без модуля. log₃ x² = 2 log₃ |x|. Если написать 2 log₃ x, область сузится до x > 0 и пропадёт отрицательный корень: у log₃ x² = 2 корни 3 и −3.

Шпаргалка за 30 секунд

Посмотреть, как связаны показательная функция и логарифм, и порешать уравнения можно в тренажёре «Как решать логарифмы: рост, график, децибелы». Когда простые уравнения пойдут, переходи к логарифмическим неравенствам ЕГЭ профиль: там добавляется знак и правило про основание. Отбор корней из задания 14 удобнее один раз увидеть вживую — на пробном занятии по математике.