Забывают факты про касательные. В первом примере демо окружность касается сторон AB и BC равнобедренного треугольника и высоты CH: центр лежит на биссектрисе угла B, а радиус в точке касания перпендикулярен стороне. В решении ФИПИ ещё два хода: CO — биссектриса угла BCH, HO — биссектриса прямого угла BHC, поэтому четырёхугольник AHOC вписанный и ∠OAC = 45°.
Не используют диаметр. Во втором примере BC — диаметр, поэтому угол CAB прямой; NAB равнобедренный, и биссектриса угла ANB перпендикулярна AB. Обе прямые перпендикулярны AB, значит AC параллельна биссектрисе.
Принимают доказываемое за данное. В пункте а нельзя считать точку серединой или отрезки равными без вывода.
Решают б без а. Пункт а подсказывает связь для б. По критериям б, решённое с опорой на а без доказательства, — 1 балл.
Адиль, 16.06.2026, о ЕГЭ-2026 (14 и 17 задания по нумерации 2026): «Пирамида и треугольник/четырехугольник + окружность».
Шпаргалка за 30 секунд
Окружность касается сторон угла
Опорный факт
центр на биссектрисе, касательные из точки равны, радиус ⟂ касательной
Периметр треугольника 𝐴𝐵𝐶 равен 36. Точки 𝐸 и 𝐹 – середины сторон 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 соответственно. Отрезок 𝐸𝐹 касается окружности, вписанной в треугольник 𝐴𝐵𝐶.
а) Докажите, что 𝐴𝐶 = 9.
б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶, если ∠𝐴𝐶𝐵 = 90°.
Источник: ФИПИ
Видеоразбор 2
ID: 00013633
Окружность с центром в точке 𝑂 касается сторон угла с вершиной 𝑁 в точках 𝐴 и 𝐵. Отрезок 𝐵𝐶 – диаметр этой окружности.
а) Докажите, что прямая 𝐴𝐶 параллельна биссектрисе угла ∠𝐴𝑁𝐵.
б) Найдите длину отрезка 𝑁𝑂, если известно, что 𝐴𝐶 = 10 и 𝐴𝐵 = 24.
Источник: ФИПИ
Видеоразбор 3
ID: 00013632
Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точке M, а окружность с диаметром CD пересекает основание AD в точке N. Отрезки AM и CN пересекаются в точке P.
а)Докажите, что в четырёхугольнике ABCP можно вписать окружность.
б)Найдите радиус этой окружности, если BC = 7, AD = 17.
Источник: ФИПИ
Подтемы этого номера
Примеры заданий с ответами15
Пример 1
ID: 00045659
В остроугольном равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ провели высоты $AN$ и $CK$, пересекающиеся в точке $H$. Отрезки $BH$ и $KN$ пересекаются в точке $P$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $KBN$.
а) Докажите, что треугольники $CNH$ и $KPO$ подобны.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $KBN$, если $AB=13$, $AC=10$.
Источник: Сборник Ященко 2027
Пример 2
ID: 00045658
В остроугольном равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ провели высоты $AN$ и $CK$, пересекающиеся в точке $H$. Отрезки $BH$ и $KN$ пересекаются в точке $P$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $KBN$.
а) Докажите, что треугольники $AKH$ и $KPO$ подобны.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $KBN$, если $AB=17$, $AC=16$.
Источник: Сборник Ященко 2027
Пример 3
ID: 00045657
В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$, а биссектрисы углов $A$ и $D$ — в точке $L$, $AB\lt AD$.
а) Докажите, что $OL=\frac{AD-AB}{2}$.
б) Найдите площадь треугольника $DOL$, если $AB=16$, $BC=30$, $AL=24$.
Источник: Сборник Ященко 2027
Пример 4
ID: 00045656
В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$, а биссектрисы углов $A$ и $D$ — в точке $L$, $AB\gt BC$.
а) Докажите, что $OL=\frac{AB-BC}{2}$.
б) Найдите площадь треугольника $DOL$, если $AB=32$, $BC=20$, $AL=16$.
Источник: Сборник Ященко 2027
Пример 5
ID: 00045655
Трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD$ вписана в окружность радиусом $q$, $KM$ — средняя линия трапеции $ABCD$.
а) Докажите, что если центр окружности, описанной около трапеции $ABCD$, лежит вне её, то центр окружности, описанной около трапеции $KBCM$, лежит вне трапеции $KBCM$.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции $KBCM$, если $AD=20$, $AB=BC=q=10$.
Источник: Сборник Ященко 2027
Пример 6
ID: 00045654
Трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD$ вписана в окружность радиусом $q$, $KM$ — средняя линия трапеции $ABCD$.
а) Докажите, что если центр окружности, описанной около трапеции $ABCD$, лежит вне её, то центр окружности, описанной около трапеции $AKMD$, лежит вне трапеции $AKMD$.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции $AKMD$, если $AD=20$, $AB=BC=q=10$.
Источник: Сборник Ященко 2027
Пример 7
ID: 00045653
В прямоугольнике $ABCD$ на стороне $BC$ отметили точку $E$. Лучи $DB$ и $DE$ делят угол $ADC$ на три равные части. Отрезок $BD$ пересекает отрезки $AC$ и $AE$ в точках $O$ и $N$ соответственно.
а) Докажите, что $NO=\frac{AB}{5}$.
б) Найдите отношение площадей фигур, на которые прямая $DE$ делит четырёхугольник $ONEC$.
Источник: Сборник Ященко 2027
Пример 8
ID: 00045652
В прямоугольнике $ABCD$ на стороне $BC$ отметили точку $E$. Лучи $DB$ и $DE$ делят угол $ADC$ на три равные части. Отрезок $BD$ пересекает отрезки $AC$ и $AE$ в точках $O$ и $N$ соответственно.
а) Докажите, что $NO=\frac{AB}{5}$.
б) Прямые $AC$ и $DE$ пересекаются в точке $P$. Найдите отношение площадей фигур, на которые прямая $BD$ делит треугольник $AEP$.
Источник: Сборник Ященко 2027
Пример 9
ID: 00045651
В пятиугольник $ABCDE$ вписана окружность $\omega$ радиусом $m$ с центром в точке $O$. Четырёхугольник $ABDE$ является равнобедренной трапецией с большим основанием $BD$; $P$ — точка касания окружности $\omega$ со стороной $AE$.
а) Докажите, что точки $C$, $O$ и $P$ лежат на одной прямой.
б) Найдите площадь пятиугольника $ABCDE$, если $AE=10$, $AB=15$, $m=10$.
Источник: Сборник Ященко 2027
Пример 10
ID: 00045650
В пятиугольник $ABCDE$ вписана окружность $\omega$ радиусом $m$ с центром в точке $O$. Четырёхугольник $ABDE$ является равнобедренной трапецией с большим основанием $BD$; $P$ — точка касания окружности $\omega$ со стороной $AE$.
а) Докажите, что точки $C$, $O$ и $P$ лежат на одной прямой.
б) Найдите площадь пятиугольника $ABCDE$, если $AE=14$, $BD=24$, $AB=13$.
Источник: Сборник Ященко 2027
Пример 11
ID: 00043795
В трапеции $ABCD$ с меньшим основанием $BC$ точки $E$ и $F$ — середины сторон $BC$ и $AD$ соответственно. В каждый из четырёхугольников $ABEF$ и $ECDF$ можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция $ABCD$ равнобедренная.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции $ABCD$, если $BC = 16$, а радиус окружности, вписанной в четырёхугольник $ABEF$, равен 7.
Источник: Сборник Ященко 2026
Пример 12
ID: 00043794
В трапеции $ABCD$ с меньшим основанием $BC$ точки $E$ и $F$ — середины сторон $BC$ и $AD$ соответственно. В каждый из четырёхугольников $ABEF$ и $ECDF$ можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция $ABCD$ равнобедренная.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции $ABCD$, если $AB = 7$, а радиус окружности, вписанной в четырёхугольник $ABEF$, равен 2,5.
Источник: Сборник Ященко 2026
Пример 13
ID: 00043793
Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $BC = 14$ и $AB = CD = 40$ вписан в окружность радиусом $R = 25$.
а) Докажите, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны.
б) Найдите $AD$.
Источник: Сборник Ященко 2026
Пример 14
ID: 00043792
Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $BC = 7$ и $AB = CD = 20$ вписан в окружность радиусом $R = 16$.
а) Докажите, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны.
б) Найдите $AD$.
Источник: Сборник Ященко 2026
Пример 15
ID: 00043791
В параллелограмме $ABCD$ угол $BAC$ вдвое больше угла $CAD$. Биссектриса угла $BAC$ пересекает отрезок $BC$ в точке $L$. На продолжении стороны $CD$ за точку $D$ выбрана такая точка $E$, что $AE = CE$.
Можно ли получить баллы за 18 задание без доказательства?
Да: обоснованный ответ в пункте б без пункта а — 2 балла, а если б решён с опорой на недоказанное утверждение а — 1 балл. Максимум 3 — за доказательство и верный ответ б.
Как разбирать 18 задание ЕГЭ профиль?
Чертёж, выписанные факты про окружность и углы, доказательство цепочкой, затем вычисление.
Изменился ли номер планиметрии?
Да: в 2026 году планиметрия во второй части была 17 заданием, в 2027 — 18.
Разберёмся вместе?
Начни с пробного занятия — найди слабую тему и разбери её с преподавателем.
