Путают скалярное произведение с вектором. Скалярное произведение — число: x₁x₂ + y₁y₂. В примере демо-2027 для векторов (5; 3) и (4; −6) получается 5·4 + 3·(−6) = 20 − 18 = 2. Ответ парой чисел баллов не даст.
Теряют минус. Отрицательная координата при умножении — частая потеря. Берите её в скобки: 3·(−6), а не 3·−6.
Складывают длины вместо векторов. Для 7a + b при a = (2; 2) и b = (2; −2) сначала считают координаты: (16; 12), потом длину √(16² + 12²) = 20. Сумма длин 7|a| + |b| даёт 16√2 — совсем другое число.
Читают координаты с рисунка по концу вектора. Координаты — это разность: (x конца − x начала; y конца − y начала). Если начало не в нуле, координаты конца дают неверный ответ.
Шпаргалка за 30 секунд
Координаты по рисунку
Формула
конец − начало
Ловушка
взяли только конец
Сумма, разность, умножение на число
Формула
покоординатно
Ловушка
множитель забыли на второй координате
Длина
Формула
√(x² + y²)
Ловушка
длина суммы ≠ сумма длин
Скалярное произведение
Формула
x₁x₂ + y₁y₂
Ловушка
ответ — число, не пара
Угол между векторами
Формула
cos φ = (a·b) / (
Ловушка
a
Следующий шаг: откройте тему Векторы ЕГЭ профиль и решите несколько задач на чтение координат с рисунка, затем переходите к 3 заданию ЕГЭ профиль. Если хочется разобрать живьём, на странице есть кнопка пробного занятия по математике.
Разбираем вместе
Видеоразбор 1
ID: 00013463
На координатной плоскости изображены векторы $\bar{а}$ и $\bar{b}$, координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора $\bar{а}$ +4$\bar{b}$.
Источник: ФИПИ
Видеоразбор 2
ID: 00013462
Длины векторов $\bar{а}$ и $\bar{b}$ равны 3 и 7, а угол между ними равен 60°. Найдите скалярное произведение $\bar{а}$$\cdot$$\bar{b}$
Источник: ФИПИ
Видеоразбор 3
ID: 00013461
Даны векторы $\bar{а}$( – 3; 5) и $\bar{b}$(1; 13). Найдите скалярное произведение $\bar{а}$$\cdot$$\bar{b}$.
Источник: ФИПИ
Подтемы этого номера
Примеры заданий с ответами15
Пример 1
ID: 00048764
Даны векторы $\vec a(-10;\,3)$, $\vec b(-1;\,-6)$ и $\vec c(-2;\,6)$. Найдите скалярное произведение векторов $\vec a+\vec b$ и $\vec c$.
Источник: СтатГрад 02.10.2024
Пример 2
ID: 00048763
Даны векторы $\vec a(3;\,4)$, $\vec b(8;\,8)$ и $\vec c(13;\,15)$. Найдите сумму координат вектора $\vec a+\vec b-\vec c$.
Источник: Пересдача ЕГЭ 2024 (Дальний Восток)
Пример 3
ID: 00048762
Даны векторы $\vec a(17;\,0)$ и $\vec b(1;\,-1)$. Найдите длину вектора $\vec a-12\vec b$.
Источник: Основная волна ЕГЭ 2024 (Дальний Восток)
Пример 4
ID: 00048761
Даны векторы $\vec a(3;\,4)$ и $\vec b(5;\,2)$. Найдите длину вектора $\vec a+\vec b$.
Источник: Основная волна ЕГЭ 2024 (Дальний Восток)
Пример 5
ID: 00048760
Даны векторы $\vec a(13;\,10)$ и $\vec b(3;\,4)$. Найдите длину вектора $0{,}8\vec a-2{,}3\vec b$.
Источник: Сборник Ященко 2025
Пример 6
ID: 00048759
Даны векторы $\vec a(3;\,7)$ и $\vec b(8;\,9)$. Найдите длину вектора $1{,}2\vec a-0{,}7\vec b$.
Источник: Сборник Ященко 2025
Пример 7
ID: 00048758
Даны векторы $\vec a(-2;\,4)$ и $\vec b(2;\,-1)$. Известно, что векторы $\vec c(x_c;\,y_c)$ и $\vec b$ сонаправленные, а $|\vec c|=|\vec a|$. Найдите $x_c+y_c$.
Источник: Сборник Ященко 2025
Пример 8
ID: 00048757
Даны векторы $\vec a(7;\,-5)$, $\vec b(-9;\,5)$ и $\vec c(25;\,-12)$. Найдите длину вектора $4\vec a+3\vec b-\vec c$.
Источник: СтатГрад 18.03.2025
Пример 9
ID: 00048756
Даны векторы $\vec a(2;\,3)$ и $\vec b(2;\,-1)$. Найдите скалярное произведение векторов $\vec a$ и $\vec b$.
Источник: Пересдача ЕГЭ 2025 (Центр)
Пример 10
ID: 00048755
Даны векторы $\vec a(1;\,1)$ и $\vec b(0;\,7)$. Найдите длину вектора $5\vec a+\vec b$.
Даны векторы $\vec a(11;\,0)$ и $\vec b(1;\,-5)$. Найдите длину вектора $\vec a-3\vec b$.
Источник: Резервная волна ЕГЭ 2025 (Центр)
Пример 12
ID: 00048753
Даны векторы $\vec a(2;\,1)$ и $\vec b(1;\,-3)$. Найдите скалярное произведение векторов $2\vec a+\vec b$ и $5\vec a-\vec b$.
Источник: Основная волна ЕГЭ 2025 (Центр)
Пример 13
ID: 00048752
Даны векторы $\vec a(2;\,-4)$, $\vec b(-2;\,-9)$ и $\vec c(-2;\,5)$. Найдите длину вектора $2\vec a-\vec b+3\vec c$.
Источник: СтатГрад 14.05.2025
Пример 14
ID: 00048751
Даны векторы $\vec a(-21;\,5)$, $\vec b(0;\,11)$ и $\vec c(-7;\,4)$. Найдите длину вектора $\vec a+\vec b-3\vec c$.
Источник: СтатГрад 14.05.2025
Пример 15
ID: 00048750
Даны векторы $\vec a(2;\,1)$ и $\vec b(1;\,-3)$. Найдите скалярное произведение векторов $\vec a-\vec b$ и $5\vec a-\vec b$.
Источник: Досрочный ЕГЭ 2025 (Москва)
Соседние материалы
Темы для этого задания
Частые вопросы
Что в 2 задании ЕГЭ по профильной математике 2027?
Векторы: координаты, сумма, умножение на число, скалярное произведение, угол между векторами. Краткий ответ, 1 балл, базовый уровень.
Какие формулы нужны для 2 задания?
Длина √(x² + y²), скалярное произведение x₁x₂ + y₁y₂, косинус угла как скалярное произведение, делённое на произведение длин. Теория — на странице темы «Векторы».
Изменилось ли 2 задание в 2027 году?
Нет: номер и уровень те же, что в 2026 году (в разделе 11 спецификации 2027, где перечислены изменения, о векторах ничего нет).
Разберёмся вместе?
Начни с пробного занятия — найди слабую тему и разбери её с преподавателем.
