Задание 19 ЕГЭ по математике №00045666

Первое уравнение задаёт две параллельные прямые: $10y-5x-3=5$ или $10y-5x-3=-5$. Это $x-2y=-8/5$ и $x-2y=2/5$.

На первой прямой показатель $x-2y+0{,}6=-1$, поэтому второе уравнение задаёт окружность с центром $C=(-3;-1)$ и квадратом радиуса $1/a$. На второй показатель равен $1$, квадрат радиуса $a$.

Расстояния от $C$ до прямых равны $|(-3)-2(-1)+8/5|/\sqrt5=3/(5\sqrt5)$ и $|(-3)-2(-1)-2/5|/\sqrt5=7/(5\sqrt5)$. Их квадраты $9/125$ и $49/125$.

Первая ветвь имеет две точки при $1/a\gt9/125$, одну при равенстве, ни одной при обратном знаке. Для $a\gt0$ это соответственно $a\lt125/9$, $a=125/9$, $a\gt125/9$.

Вторая ветвь имеет две точки при $a\gt49/125$, одну при равенстве и ноль при $a\lt49/125$. Прямые различны и параллельны, поэтому точки разных ветвей не совпадают.

Итак, при $0\lt a\lt49/125$ всего две точки, на границе $49/125$ — три; между $49/125$ и $125/9$ — четыре; на границе $125/9$ — три; выше неё — две.

Подходят $(0;49/125]\cup[125/9;+\infty)$. Проверка особого $a=1$: окружности совпадают, но каждая из двух прямых пересекает её дважды, то есть решений четыре и значение правильно исключено.