Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00045663

Уравнение чётное по $x$, поэтому введём $t=x^2$. Корень существует при $0\le t\le9$. Каждое положительное значение $t$ даёт два значения $x$, а $t=0$ — только одно.

При $t=1$ равенство невозможно: слева $\sqrt{80}-10\ne0$, справа ноль. Для остальных $t$ выразим параметр: $a=F(t)=(\sqrt{81-t^2}-10)/(t-1)$.

Числитель всегда отрицателен. На $[0;1)$ функция положительна, $F(0)=1$ и $F(t)\to+\infty$ при $t\to1-$. Проверим её возрастание: $F'(t)=[10-(81-t)/\sqrt{81-t^2}]/(t-1)^2$. На $[0;1)$ выражение в квадратных скобках положительно: равносильное после возведения положительных частей в квадрат неравенство имеет вид $1539+162t-101t^2\gt0$, что верно на этом отрезке.

Поэтому при $a\gt1$ существует ровно один положительный $t$, а при $a=1$ — только $t=0$, дающий один корень. Положительная ветвь подходит лишь при $a\gt1$.

На $(1;9]$ функция отрицательна: у левого края стремится к $-\infty$, а $F(9)=-10/8=-5/4$. Знак её производной задаётся выражением $Q(t)=1539+162t-101t^2$. У него один положительный корень $t_*=(81+180\sqrt5)/101$, лежащий между $1$ и $9$. Поэтому $F$ возрастает до $t_*$, а затем убывает.

Найдём высоту максимума. Равенство $\sqrt{81-t^2}=at+10-a$ задаёт пересечение верхней полуокружности радиуса $9$ и прямой. В точке максимума по параметру прямая касается окружности. Расстояние от её центра до прямой равно радиусу: $(10-a)^2=81(a^2+1)$.

После раскрытия скобок получаем $80a^2+20a-19=0$. Отрицательное значение равно $a_*=-(5+9\sqrt5)/40$; положительное относится не к рассматриваемой ветви. Точка касания $t_*$ лежит в нужной области, правая часть положительна, поэтому касание действительно допустимо.

При $a\lt-5/4$ горизонталь пересекает возрастающий участок один раз и не встречает убывающий. При $a=-5/4$ пересечений два, одно из них при $t=9$. При $-5/4\lt a\lt a_*$ их тоже два; при $a=a_*$ — одно касание; выше максимума — ни одного.

Таким образом, ровно один положительный $t$ получается при $a\lt-5/4$, при $a=a_*$ и при $a\gt1$. На этих значениях $t=0$ не является решением, поэтому исходных корней ровно два. Проверка особой границы $a=1$: нулевой корень даёт один, а не два корня — включать её нельзя.