Уравнения и неравенства в ЕГЭ по математике: все темы, номера заданий и задачи

Уравнения и неравенства на ЕГЭ профиль — это четыре номера: 7, 14, 16 и 19 с параметром. Вместе они стоят 9 первичных баллов из 33, столько же, сколько вся геометрия, а ещё уравнение приходится составлять в текстовых, финансовых и прикладных задачах.

Суть простыми словами

Решить уравнение — найти все x, при которых равенство верно, и доказать, что других нет. Решить неравенство — найти все промежутки, где оно выполнено. Любое решение — цепочка переходов к более простому виду, пока не дойдёшь до знакомого типа.

Каждый переход надо проверять на две беды. Лишние корни появляются при возведении в квадрат, умножении на выражение с x и снятии логарифма. Потерянные — при делении на выражение с x и при сужении области определения.

Пример лишнего корня: √(x + 6) = x. После возведения в квадрат x² − x − 6 = 0, корни 3 и −2. Но при x = −2 слева √4 = 2, а справа −2, поэтому в ответе только 3.

Пример потерянного корня: x³ = 4x. Если разделить на x, останется x² = 4 и ответ ±2, а корень 0 исчезнет. Правильно: x(x² − 4) = 0, корни 0, 2 и −2.

Где встречается на экзамене

В базовом экзамене за эту линию отвечают задание 17 ЕГЭ база (уравнения) и задание 18 ЕГЭ база (неравенства), по 1 баллу. Параметров и тригонометрических неравенств в базе нет: в кодификаторе они отмечены только для углублённого уровня, по которому составлен профиль. Номера 14 и 16 в 2026 году были 13-м и 15-м, параметр — 18-м.

Где ошибаются

1. Делят обе части на выражение с x. Как в примере x³ = 4x: деление на x стоит корня 0. Выноси общий множитель за скобки.
2. Умножают неравенство на выражение неизвестного знака. 1/x < 1 после «умножения на x» превращается в x > 1 и теряет все отрицательные x. Правильно: (1 − x)/x < 0, ответ (−∞; 0) ∪ (1; +∞).
3. Проверяют корни не в том уравнении. Подставлять нужно в исходное: после возведения в квадрат посторонний x = −2 подходит, а в √(x + 6) = x — нет.
4. Путают скобки в ответе неравенства. Строгий знак — круглые скобки, нестрогий — квадратные у нулей числителя; нули знаменателя всегда в круглых.

Шпаргалка за 30 секунд

Дальше иди по типу задачи: рациональные уравнения ЕГЭ профиль, логарифмические уравнения ЕГЭ профиль, метод интервалов ЕГЭ профиль. Знаки неравенств удобно отрабатывать на тренажёре «Светофор», отбор корней тригонометрического уравнения в задании 14 — на тригонометрической окружности. План по всему разделу составим на пробном занятии по математике.