Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00045660

Степень $1{,}5$ означает $(x-a)\sqrt{x-a}$, поэтому $x-a\ge0$. Для логарифма требуется $a^2-x^2\gt0$, то есть $-|a|\lt x\lt|a|$. При $a\ge0$ совместить это с $x\ge a$ невозможно. Дальше рассматриваем $a\lt0$, и область определения имеет вид $a\lt x\lt-a$.

Введём $t=x-a$. Тогда $0\lt t\lt-2a$, а $a^2-x^2=-t(2a+t)$. Перенесём все слагаемые в одну сторону и вынесем множители:

$$\left(\frac{t^{3/2}}3-t\right)\log_2(a^2-x^2)+3t-t^{3/2}=t\left(\frac{\sqrt t}{3}-1\right)\bigl(\log_2(a^2-x^2)-3\bigr)=0.$$

Так как $t\gt0$, остаются два случая: $t=9$ или $a^2-x^2=8$.

Первый случай даёт $x=a+9$. Он допустим ровно при $9\lt-2a$, то есть $a\lt-9/2$.

Во втором случае $x^2=a^2-8$. При $a\lt-2\sqrt2$ есть два разных корня $x=\pm\sqrt{a^2-8}$; оба строго между $a$ и $-a$. При $a=-2\sqrt2$ есть один корень $x=0$, а при $-2\sqrt2\lt a\lt0$ корней нет.

Если $-9/2\le a\lt-2\sqrt2$, первый случай не добавляет корень, а второй даёт ровно два. Все такие параметры подходят. При $a=-2\sqrt2$ корень только один, поэтому правую границу исключаем.

Если $a\lt-9/2$, обычно получается три корня. Ровно два останутся, когда $a+9$ совпадёт с одним из корней второго случая. Условие совпадения:

$$(a+9)^2=a^2-8,\qquad18a+81=-8,\qquad a=-89/18.$$

Это число меньше $-9/2$, поэтому дополнительный корень допустим. При нём $a+9=73/18$, а два корня второго случая равны $\pm73/18$. Совпадает ровно один из них.

Получаем $[-9/2;-2\sqrt2)\cup\{-89/18\}$. Проверим границу $a=-9/2$: корни второго случая $\pm7/2$ допустимы, а $x=a+9=9/2$ запрещён логарифмом. Значит, левая граница действительно включена.