Задание 20 ЕГЭ по профильной математике: теория чисел — теория, практика, разбор

На доске записаны 110 натуральных трёхзначных чисел, среди которых есть хотя бы одно число с цифрой 0 в разряде десятков, хотя бы одно число с цифрой 0 в разряде единиц и хотя бы одно число, в записи которого нет цифры 0. Если в каждом из чисел, в записи которых есть цифра 0, переставить цифры в порядке убывания, а в каждом из чисел, в записи которых нет цифры 0, переставить цифры в порядке возрастания, то получится новый ряд из 110 чисел.

а) Может ли сумма чисел первого ряда быть равна сумме чисел второго ряда?

б) Может ли сумма чисел второго ряда быть в 8 раз меньше суммы чисел первого ряда?

в) В какое наибольшее число раз сумма чисел второго ряда может быть меньше суммы чисел первого ряда?

На доске записаны 100 натуральных трёхзначных чисел, среди которых есть хотя бы одно число с цифрой 0 в разряде десятков, хотя бы одно число с цифрой 0 в разряде единиц и хотя бы одно число, в записи которого нет цифры 0. Если в каждом из чисел, в записи которых есть цифра 0, переставить цифры в порядке убывания, а в каждом из чисел, в записи которых нет цифры 0, переставить цифры в порядке возрастания, то получится новый ряд из 100 чисел.

а) Может ли сумма чисел первого ряда быть равна сумме чисел второго ряда?

б) Может ли сумма чисел второго ряда быть в 9 раз больше суммы чисел первого ряда?

в) В какое наибольшее число раз сумма чисел второго ряда может быть больше суммы чисел первого ряда?

Маша написала программу, которая по заданному ей одному натуральному числу $D$ $(D\geq2)$ выдаёт ряд чисел $n_i$ $(i=1;\ 2;\ 3\ldots\ 999;\ 1000)$ по следующим правилам:

1) $n_1=1000-6D$,

2) для всех $k\geq1$: если $n_k\gt 6D$, то $n_{k+1}=n_k-6D$, иначе $n_{k+1}=(n_k-6D)^2$.

а) Может ли в ряду полученных чисел быть число 200?

б) Может ли в ряду полученных чисел быть число 550?

в) Какое количество различных чисел будет в полученном ряду, если $D=28$?

Миша написал программу, которая по заданному ей одному натуральному числу $D$ $(D\geq2)$ выдаёт ряд чисел $n_i$ $(i=1;\ 2;\ 3\ldots\ 999;\ 1000)$ по следующим правилам:

1) $n_1=1000-6D$,

2) для всех $k\geq1$: если $n_k\gt 6D$, то $n_{k+1}=n_k-6D$, иначе $n_{k+1}=(n_k-6D)^2$.

а) Может ли в ряду полученных чисел быть число 140?

б) Может ли в ряду полученных чисел быть число 190?

в) Какое количество различных чисел будет в полученном ряду, если $D=32$?

Первая последовательность состоит из $k$ $(k\geq10)$ последовательных четырёхзначных натуральных чисел, среднее арифметическое которых равно $Q_1$. Вторая последовательность состоит из $2k$ последовательных четырёхзначных натуральных чисел, среднее арифметическое которых равно $Q_2$.

а) Может ли $Q_1=Q_2$ при $k=12$?

б) Может ли $Q_1=Q_2$ при $k=25$?

в) Найдите наибольшее возможное значение модуля разности среднего арифметического $\frac{Q_1+Q_2}{2}$ и среднего арифметического набора чисел, состоящего из членов первой и второй последовательностей, если в этом наборе нет одинаковых чисел.

Первая последовательность состоит из $k$ $(k\geq10)$ последовательных четырёхзначных натуральных чисел, среднее арифметическое которых равно $Q_1$. Вторая последовательность состоит из $2k$ последовательных четырёхзначных натуральных чисел, среднее арифметическое которых равно $Q_2$.

а) Может ли $Q_1=Q_2$ при $k=16$?

б) Может ли $Q_1=Q_2$ при $k=15$?

в) Найдите наименьшее возможное значение модуля разности среднего арифметического $\frac{Q_1+Q_2}{2}$ и среднего арифметического набора чисел, состоящего из членов первой и второй последовательностей, если в этом наборе нет одинаковых чисел.

Чёрный маркер стоит 45 рублей, синий — 52 рубля, красный — 64 рубля, зелёный — 72 рубля. На 1700 рублей покупают эти маркеры, соблюдая условие: если $n_1$, $n_2$, $n_3$, $n_4$ — количество купленных маркеров какого-то цвета и $n_1\geq n_2\geq n_3\geq n_4$, то $n_k-n_{k+1}\leq2$ (для $k=1;\ 2;\ 3$).

а) Можно ли купить 25 маркеров?

б) Можно ли купить 35 маркеров?

в) Какое наибольшее количество маркеров можно купить?

Чёрный маркер стоит 23 рубля, синий — 27 рублей, красный — 31 рубль, зелёный — 35 рублей. На 1000 рублей покупают эти маркеры, соблюдая условие: если $n_1$, $n_2$, $n_3$, $n_4$ — количество купленных маркеров какого-то цвета и $n_1\geq n_2\geq n_3\geq n_4$, то $n_k-n_{k+1}\leq2$ (для $k=1;\ 2;\ 3$).

а) Можно ли купить 30 маркеров?

б) Можно ли купить 40 маркеров?

в) Какое наименьшее количество маркеров можно купить, если сдача с покупки будет меньше стоимости самого дешёвого маркера?

Ширина одной секции забора равна 1,1 метра. Секции можно скреплять между собой только внахлёст 10 см или 40 см (накладывать одну секцию на другую) и получать забор определённой длины.

а) Можно ли из этих секций собрать забор длиной 6 метров?

б) Можно ли из этих секций собрать забор длиной 5 метров?

в) Найдите наименьшую длину $L$ (см) забора, который можно собрать из таких секций, чтобы также можно было собрать забор любой длины $L+10n$ см $(n\in\mathbb N)$.

Ширина одной секции забора 1 метр. Секции можно скреплять между собой только внахлёст 10 см или 30 см (накладывать одну секцию на другую) и получать забор определённой длины.

а) Можно ли из этих секций собрать забор длиной 4,5 метра?

б) Можно ли из этих секций собрать забор длиной 5 метров?

в) Найдите наименьшую длину $L$ (см) забора, который можно собрать из таких секций, чтобы также можно было собрать забор любой длины $L+10n$ см $(n\in\mathbb N)$.

Из $k$ кг материала фабрика изготавливает $n$ одинаковых деталей массой $m$ кг каждая, причём $k = nm + q$, где $q$ кг — остатки материала, и $q \lt m$. После внедрения новых технологий на фабрике начали выпускать детали нового типа, каждая из которых стала на 0,1 кг легче детали старого типа, причём из 18 кг материала деталей нового типа стали делать на две больше, чем делали деталей старого типа из 21 кг материала.

а) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 50 новых деталей будет достаточно 18 кг материала, а на 51 — уже нет?

б) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 32 новых деталей будет достаточно 18 кг материала, а на 33 — уже нет?

в) Найдите все такие числа $n$, что фабрика может выпускать $n$ новых деталей из 10 кг материала, не нарушая условия $q \lt m$.

Из $k$ кг материала фабрика изготавливает $n$ одинаковых деталей массой $m$ кг каждая, причём $k = nm + q$, где $q$ кг — остатки материала, и $q \lt m$. После внедрения новых технологий на фабрике начали выпускать детали нового типа, каждая из которых стала на 0,2 кг легче детали старого типа, причём из 63 кг материала деталей нового типа стали делать на две больше, чем делали деталей старого типа из 64 кг материала.

а) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 15 новых деталей будет достаточно 63 кг материала, а на 16 — уже нет?

б) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 40 новых деталей будет достаточно 63 кг материала, а на 41 — уже нет?

в) Найдите такое минимальное число $n$, что фабрика может выпускать $n$ новых деталей из 80 кг материала, а $n-1$ деталь не сможет, не нарушая условия $q \lt m$.

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 8 раз больше, либо в 8 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 4040.

а) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

б) Может ли последовательность состоять из четырёх членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 7 раз больше, либо в 7 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 9177.

а) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

б) Может ли последовательность состоять из пяти членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Есть три коробки: в первой коробке 95 камней, во второй — 104, а третья — пустая. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в третьей коробке оказаться 199 камней?

б) Могло ли в первой коробке оказаться 100 камней, во второй — 50, а в третьей — 49?

в) В первой коробке оказалось 2 камня. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?