Расположение… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00043830

Здесь в системе встречаются $y^2$ и $y^4$, поэтому удобно обозначить $t=y^2$. Тогда система превращается в прямую и окружность на плоскости $(x;t)$, и вопрос о числе решений становится вопросом о точках их пересечения.

Шаг 1. Обозначим $t=y^2\ge0$ и $m=2a+8$. Первое уравнение: $x=t-m$, то есть $t=x+m$ — прямая. Второе: $t^2+x^2=R$, где $R=a^2-5a-6$. При $R\lt0$ решений нет, при $R\gt0$ это окружность с центром в начале координат радиуса $\sqrt R$.

Шаг 2. Подсчёт. Каждая общая точка с $t\gt0$ даёт два решения системы ($y=\pm\sqrt t$), точка с $t=0$ — одно. У прямой и окружности не больше двух общих точек. Значит, четыре решения — ровно тогда, когда общих точек две и у обеих $t\gt0$.

Шаг 3. Три условия.

— Две общие точки. Опустим из центра $(0;0)$ перпендикуляр на прямую $t=x+m$. Прямая идёт под углом $45^\circ$, перпендикуляр к ней — по прямой $t=-x$, и они встречаются в точке $\left(-\dfrac m2;\dfrac m2\right)$. Это ближайшая к центру точка прямой. Если она лежит строго внутри круга, прямая входит в круг и выходит из него — общих точек две. Условие: $\dfrac{m^2}{4}+\dfrac{m^2}{4}\lt R$, то есть $m^2\lt2R$:

$$4a^2+32a+64\lt2a^2-10a-12\iff 2a^2+42a+76\lt0\iff(a+2)(a+19)\lt0\iff-19\lt a\lt-2.$$

— Обе точки выше оси $t=0$. Прямая пересекает эту ось в точке $(-m;0)$. Если эта точка внутри круга или на окружности, хорда задевает ось, и у одной из точек $t\le0$. Поэтому точка $(-m;0)$ должна быть вне окружности: $m^2\gt R$:

$$4a^2+32a+64\gt a^2-5a-6\iff3a^2+37a+70\gt0\iff(3a+7)(a+10)\gt0\iff a\lt-10\ \text{или}\ a\gt-\dfrac73.$$

— Но и тогда хорда может целиком лежать ниже оси. Середина хорды — основание перпендикуляра из центра на прямую, точка $\left(-\dfrac m2;\dfrac m2\right)$. Хорда выше оси, когда $\dfrac m2\gt0$: $m=2a+8\gt0$, то есть $a\gt-4$.

Шаг 4. Пересечение трёх условий: $-\dfrac73\lt a\lt-2$. На этом промежутке $R=(a-6)(a+1)\gt0$ — окружность существует.

Проверим $a=-2{,}2$: $m=3{,}6$, $R=4{,}84+11-6=9{,}84$. Уравнение $t^2+(t-3{,}6)^2=9{,}84$ даёт $t^2-3{,}6t+1{,}56=0$, $t=\dfrac{3{,}6\pm\sqrt{6{,}72}}{2}\approx3{,}10$ и $0{,}50$ — оба положительны, решений четыре. А при $a=-2$: $m=4$, $R=8$, $m^2=2R$ — касание, одна точка и только два решения.