Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00043828

Здесь дробь равна нулю: аргумент логарифма должен равняться единице, а подкоренное выражение знаменателя — быть положительным. Чтобы второе условие стало совсем простым, сделаем это подкоренное выражение новой переменной. Тогда останется посчитать положительные корни квадратного уравнения.

Шаг 1. Числитель равен нулю, знаменатель определён и не равен нулю:

$$6x^2+16ax+7x+8a^2+2a-2=1,\qquad 4-3a-2x\gt0.$$

Аргумент логарифма при этом равен $1$, он положителен. Первое условие — квадратное уравнение $6x^2+(16a+7)x+8a^2+2a-3=0$.

Шаг 2. Замена. Пусть $z=4-3a-2x$. Тогда $x=\dfrac{4-3a-z}{2}$, и условие на знаменатель — просто $z\gt0$. При фиксированном $a$ формула $z=4-3a-2x$ сопоставляет каждому $x$ одно $z$ и наоборот, разным $x$ — разные $z$. Значит, число корней исходного уравнения равно числу различных положительных корней уравнения относительно $z$.

Шаг 3. Уравнение для $z$. Подставим $x=\dfrac{4-3a-z}{2}$:

$$6x^2=\dfrac32(4-3a-z)^2=13{,}5a^2+9az-36a+1{,}5z^2-12z+24,$$

$$(16a+7)x=\dfrac{(16a+7)(4-3a-z)}{2}=-24a^2-8az+21{,}5a-3{,}5z+14.$$

Сложим с $8a^2+2a-3$. При $z^2$: $1{,}5$. При $z$: $9a-8a-12-3{,}5=a-15{,}5$. Без $z$: $13{,}5a^2-24a^2+8a^2=-2{,}5a^2$, $-36a+21{,}5a+2a=-12{,}5a$, $24+14-3=35$. Умножим на $2$:

$$3z^2+(2a-31)z-5a^2-25a+70=0.$$

Дискриминант: $(2a-31)^2+12(5a^2+25a-70)=4a^2-124a+961+60a^2+300a-840=64a^2+176a+121=(8a+11)^2$. Корни:

$$z=\dfrac{31-2a\pm(8a+11)}{6}:\qquad z_1=\dfrac{6a+42}{6}=a+7,\qquad z_2=\dfrac{20-10a}{6}=\dfrac{5(2-a)}{3}.$$

Шаг 4. Знаки корней. $z_1=a+7\gt0$ при $a\gt-7$. $z_2=\dfrac{5(2-a)}{3}\gt0$ при $a\lt2$. Корни совпадают, когда $a+7=\dfrac{5(2-a)}{3}$, то есть $3a+21=10-5a$, $8a=-11$, $a=-\dfrac{11}{8}$; тогда $z_1=z_2=7-\dfrac{11}{8}=\dfrac{45}{8}\gt0$.

— $a\le-7$: $z_1\le0$ не годится, $z_2\gt0$ годится. Один корень.

— $-7\lt a\lt2$: оба корня положительны. Они различны, кроме $a=-\dfrac{11}{8}$, где корень один. Значит, два корня при $a\ne-\dfrac{11}{8}$ и один при $a=-\dfrac{11}{8}$.

— $a\ge2$: $z_1\gt0$ годится, $z_2\le0$ не годится. Один корень.

Итак, подходят: $a\le-7$, $a=-\dfrac{11}{8}$, $a\ge2$.

Проверим $a=2$. Годится $z_1=9$, ему отвечает $x=\dfrac{4-6-9}{2}=-5{,}5$. Аргумент логарифма: $6\cdot30{,}25+39\cdot(-5{,}5)+32+4-2=181{,}5-214{,}5+34=1$, знаменатель $\sqrt{4-6+11}=3\gt0$ — корень настоящий. Второе $z_2=0$ даёт ноль в знаменателе. Один корень, как и должно быть.