Уравнения с… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00028821

Здесь $x$ — неизвестное, а $a$ — параметр, то есть «настройка» уравнения. Больше двух различных корней означает три или четыре, потому что после раскрытия модуля у нас получатся два квадратных уравнения, а каждое даёт не более двух корней.

Метод назову словами: раскрытие модуля с разбором двух случаев и выделение полного квадрата. Модуль — это «расстояние до нуля», и он ведёт себя по-разному в зависимости от знака того, что стоит внутри. Поэтому честный путь один: разбить числовую прямую на две части по знаку выражения $7x+a$, в каждой части получить обычное квадратное уравнение, а потом отобрать только те корни, которые действительно попали в свою часть. Полный квадрат нужен, чтобы аккуратно увидеть, когда корни есть, а когда их нет.

Случай 1 — когда $7x+a\ge 0$. Тогда $|7x+a|=7x+a$, и уравнение превращается в

$$x^{2}+a^{2}+x-7a=7x+a.$$

Переносим всё влево: $x^{2}+x-7x+a^{2}-7a-a=0$, то есть $x^{2}-6x+a^{2}-8a=0$.

Выделим полный квадрат по $x$: $x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9$. Получаем $(x-3)^{2}-9+a^{2}-8a=0$, откуда

$$(x-3)^{2}=9+8a-a^{2}=(9-a)(a+1).$$

Последнее равенство — обычное разложение квадратного трёхчлена $-a^{2}+8a+9$ на множители по его корням $a=-1$ и $a=9$. Обозначим $P=(9-a)(a+1)$. Корни этого случая: $x=3\pm\sqrt{P}$, и они существуют, только если $P\ge 0$, то есть при $-1\le a\le 9$.

Случай 2 — когда $7x+a\lt 0$. Тогда $|7x+a|=-(7x+a)=-7x-a$, и уравнение превращается в

$$x^{2}+a^{2}+x-7a=-7x-a.$$

Переносим влево: $x^{2}+x+7x+a^{2}-7a+a=0$, то есть $x^{2}+8x+a^{2}-6a=0$.

Выделяем полный квадрат: $x^{2}+8x=(x+4)^{2}-16$, поэтому

$$(x+4)^{2}=16+6a-a^{2}=(8-a)(a+2).$$

Обозначим $Q=(8-a)(a+2)$. Корни: $x=-4\pm\sqrt{Q}$, существуют при $Q\ge 0$, то есть при $-2\le a\le 8$.

Шаг 3. Самое важное — отбор. Найденный в случае 1 корень годится, только если для него действительно $7x+a\ge 0$, то есть $x\ge -\dfrac{a}{7}$. А корень из случая 2 годится, только если $x\lt -\dfrac{a}{7}$. Заметьте: эти два условия противоположны, поэтому один и тот же корень не может попасть в оба случая — совпадений можно не бояться.

Разберёмся с бо́льшим корнем первого случая $x=3+\sqrt{P}$. Он не меньше трёх. А граница $-\dfrac{a}{7}$ при $-1\le a\le 9$ лежит между $-\dfrac{9}{7}$ и $\dfrac{1}{7}$, то есть меньше единицы. Значит, этот корень отбор проходит всегда.

Теперь меньший корень $x=3-\sqrt{P}$. Условие $3-\sqrt{P}\ge -\dfrac{a}{7}$ перепишем как $\sqrt{P}\le 3+\dfrac{a}{7}=\dfrac{21+a}{7}$. Правая часть положительна (ведь $a\ge -1$), поэтому обе части можно возвести в квадрат:

$$49(9-a)(a+1)\le (21+a)^{2}.$$

Слева $49(-a^{2}+8a+9)=-49a^{2}+392a+441$, справа $a^{2}+42a+441$. Вычитаем левую часть из правой: $a^{2}+42a+441-(-49a^{2}+392a+441)=50a^{2}-350a$. Условие превращается в $50a^{2}-350a\ge 0$, то есть $50a(a-7)\ge 0$, откуда $a\le 0$ или $a\ge 7$.

Точно так же поступим со вторым случаем. Меньший корень $x=-4-\sqrt{Q}$ не больше $-4$, а граница $-\dfrac{a}{7}$ при $-2\le a\le 8$ лежит между $-\dfrac{8}{7}$ и $\dfrac{2}{7}$, то есть больше, чем $-4$. Значит, этот корень проходит отбор всегда.

А для бо́льшего корня $x=-4+\sqrt{Q}$ условие $-4+\sqrt{Q}\lt -\dfrac{a}{7}$ означает $\sqrt{Q}\lt \dfrac{28-a}{7}$, и после возведения в квадрат

$$49(8-a)(a+2)\lt (28-a)^{2}.$$

Слева $-49a^{2}+294a+784$, справа $a^{2}-56a+784$. Разность даёт $50a^{2}-350a\gt 0$, то есть $50a(a-7)\gt 0$, откуда $a\lt 0$ или $a\gt 7$.

Шаг 4. Считаем корни на каждом участке. Пороговые числа собрались такие: $-2$, $-1$, $0$, $7$, $8$, $9$.

При $-2\lt a\lt -1$: первый случай корней не даёт ($P\lt 0$), второй даёт оба корня (ведь $a\lt 0$). Итого два корня — мало.

При $a=-1$: $P=0$, первый случай даёт один корень $x=3$; второй даёт два. Итого три корня — подходит.

При $-1\lt a\lt 0$: первый случай даёт оба корня (так как $a\le 0$), второй тоже оба (так как $a\lt 0$). Итого четыре корня — подходит.

При $a=0$: первый случай даёт оба корня ($a\le 0$), а во втором больший корень уже не проходит (нужно строгое $a\lt 0$), остаётся один. Итого три корня — подходит.

При $0\lt a\lt 7$: в каждом случае проходит только по одному корню. Итого два — мало.

При $a=7$: в первом случае проходят оба ($a\ge 7$), во втором только меньший (нужно строгое $a\gt 7$). Итого три — подходит.

При $7\lt a\lt 8$: оба случая дают по два корня. Итого четыре — подходит.

При $a=8$: $Q=0$, второй случай даёт один корень $x=-4$; первый даёт оба. Итого три — подходит.

При $8\lt a\le 9$: второй случай корней не даёт ($Q\lt 0$), первый даёт максимум два. Больше двух не получается.

Шаг 5. Собираем подходящие настройки: $-1\le a\le 0$ и $7\le a\le 8$.

Проверим себя при $a=8$. Тогда $P=(9-8)(8+1)=9$, корни первого случая $x=3\pm 3$, то есть $6$ и $0$; условие $7x+8\ge 0$ оба выполняют. Дальше $Q=(8-8)(8+2)=0$, корень второго случая $x=-4$, и $7\cdot(-4)+8=-20\lt 0$ — проходит. Всего три различных корня: $-4$, $0$ и $6$. Сходится.