Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение x в квадрате плюс a в квадрате плюс x минус 7a равно модуль 7x плюс a модуль имеет больше двух различных корней.

левая квадратная скобка минус 1; 0 правая квадратная скобка объединение левая квадратная скобка 7; 8 правая квадратная скобка

Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение x в…

№2. Задание 18

ID: 00028821

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

$x^{2}+a^{2}+x-7a=|7x+a|$

имеет больше двух различных корней.

Источник: ФИПИ

Решение

Здесь $x$ — неизвестное, а $a$ — параметр, то есть «настройка» уравнения. Больше двух различных корней означает три или четыре, потому что после раскрытия модуля у нас получатся два квадратных уравнения, а каждое даёт не более двух корней.

Метод назову словами: раскрытие модуля с разбором двух случаев и выделение полного квадрата. Модуль — это «расстояние до нуля», и он ведёт себя по-разному в зависимости от знака того, что стоит внутри. Поэтому честный путь один: разбить числовую прямую на две части по знаку выражения $7x+a$ , в каждой части получить обычное квадратное уравнение, а потом отобрать только те корни, которые действительно попали в свою часть. Полный квадрат нужен, чтобы аккуратно увидеть, когда корни есть, а когда их нет.

Случай 1 — когда $7x+a\ge 0$ . Тогда $|7x+a|=7x+a$ , и уравнение превращается в

$x^{2}+a^{2}+x-7a=7x+a.$

Переносим всё влево: $x^{2}+x-7x+a^{2}-7a-a=0$ , то есть $x^{2}-6x+a^{2}-8a=0$ .

Выделим полный квадрат по $x$ : $x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9$ . Получаем $(x-3)^{2}-9+a^{2}-8a=0$ , откуда

$(x-3)^{2}=9+8a-a^{2}=(9-a)(a+1).$

Последнее равенство — обычное разложение квадратного трёхчлена $-a^{2}+8a+9$ на множители по его корням $a=-1$ и $a=9$ . Обозначим $P=(9-a)(a+1)$ . Корни этого случая: $x=3\pm\sqrt{P}$ , и они существуют, только если $P\ge 0$ , то есть при $-1\le a\le 9$ .

Случай 2 — когда $7x+a\lt 0$ . Тогда $|7x+a|=-(7x+a)=-7x-a$ , и уравнение превращается в

$x^{2}+a^{2}+x-7a=-7x-a.$

Переносим влево: $x^{2}+x+7x+a^{2}-7a+a=0$ , то есть $x^{2}+8x+a^{2}-6a=0$ .

Выделяем полный квадрат: $x^{2}+8x=(x+4)^{2}-16$ , поэтому

$(x+4)^{2}=16+6a-a^{2}=(8-a)(a+2).$

Обозначим $Q=(8-a)(a+2)$ . Корни: $x=-4\pm\sqrt{Q}$ , существуют при $Q\ge 0$ , то есть при $-2\le a\le 8$ .

Шаг 3. Самое важное — отбор. Найденный в случае 1 корень годится, только если для него действительно $7x+a\ge 0$ , то есть $x\ge -\dfrac{a}{7}$ . А корень из случая 2 годится, только если $x\lt -\dfrac{a}{7}$ . Заметьте: эти два условия противоположны, поэтому один и тот же корень не может попасть в оба случая — совпадений можно не бояться.

Разберёмся с бо́льшим корнем первого случая $x=3+\sqrt{P}$ . Он не меньше трёх. А граница $-\dfrac{a}{7}$ при $-1\le a\le 9$ лежит между $-\dfrac{9}{7}$ и $\dfrac{1}{7}$ , то есть меньше единицы. Значит, этот корень отбор проходит всегда.

Теперь меньший корень $x=3-\sqrt{P}$ . Условие $3-\sqrt{P}\ge -\dfrac{a}{7}$ перепишем как $\sqrt{P}\le 3+\dfrac{a}{7}=\dfrac{21+a}{7}$ . Правая часть положительна (ведь $a\ge -1$ ), поэтому обе части можно возвести в квадрат:

$49(9-a)(a+1)\le (21+a)^{2}.$

Слева $49(-a^{2}+8a+9)=-49a^{2}+392a+441$ , справа $a^{2}+42a+441$ . Вычитаем левую часть из правой: $a^{2}+42a+441-(-49a^{2}+392a+441)=50a^{2}-350a$ . Условие превращается в $50a^{2}-350a\ge 0$ , то есть $50a(a-7)\ge 0$ , откуда $a\le 0$ или $a\ge 7$ .

Точно так же поступим со вторым случаем. Меньший корень $x=-4-\sqrt{Q}$ не больше $-4$ , а граница $-\dfrac{a}{7}$ при $-2\le a\le 8$ лежит между $-\dfrac{8}{7}$ и $\dfrac{2}{7}$ , то есть больше, чем $-4$ . Значит, этот корень проходит отбор всегда.

А для бо́льшего корня $x=-4+\sqrt{Q}$ условие $-4+\sqrt{Q}\lt -\dfrac{a}{7}$ означает $\sqrt{Q}\lt \dfrac{28-a}{7}$ , и после возведения в квадрат

$49(8-a)(a+2)\lt (28-a)^{2}.$

Слева $-49a^{2}+294a+784$ , справа $a^{2}-56a+784$ . Разность даёт $50a^{2}-350a\gt 0$ , то есть $50a(a-7)\gt 0$ , откуда $a\lt 0$ или $a\gt 7$ .

Шаг 4. Считаем корни на каждом участке. Пороговые числа собрались такие: $-2$ , $-1$ , $0$ , $7$ , $8$ , $9$ .

При $-2\lt a\lt -1$ : первый случай корней не даёт ( $P\lt 0$ ), второй даёт оба корня (ведь $a\lt 0$ ). Итого два корня — мало.

При $a=-1$ : $P=0$ , первый случай даёт один корень $x=3$ ; второй даёт два. Итого три корня — подходит.

При $-1\lt a\lt 0$ : первый случай даёт оба корня (так как $a\le 0$ ), второй тоже оба (так как $a\lt 0$ ). Итого четыре корня — подходит.

При $a=0$ : первый случай даёт оба корня ( $a\le 0$ ), а во втором больший корень уже не проходит (нужно строгое $a\lt 0$ ), остаётся один. Итого три корня — подходит.

При $0\lt a\lt 7$ : в каждом случае проходит только по одному корню. Итого два — мало.

При $a=7$ : в первом случае проходят оба ( $a\ge 7$ ), во втором только меньший (нужно строгое $a\gt 7$ ). Итого три — подходит.

При $7\lt a\lt 8$ : оба случая дают по два корня. Итого четыре — подходит.

При $a=8$ : $Q=0$ , второй случай даёт один корень $x=-4$ ; первый даёт оба. Итого три — подходит.

При $8\lt a\le 9$ : второй случай корней не даёт ( $Q\lt 0$ ), первый даёт максимум два. Больше двух не получается.

Шаг 5. Собираем подходящие настройки: $-1\le a\le 0$ и $7\le a\le 8$ .

Проверим себя при $a=8$ . Тогда $P=(9-8)(8+1)=9$ , корни первого случая $x=3\pm 3$ , то есть $6$ и $0$ ; условие $7x+8\ge 0$ оба выполняют. Дальше $Q=(8-8)(8+2)=0$ , корень второго случая $x=-4$ , и $7\cdot(-4)+8=-20\lt 0$ — проходит. Всего три различных корня: $-4$ , $0$ и $6$ . Сходится.

Ответ

$[-1;0]\cup[7;8]$