Задание 15 ЕГЭ по профильной математике: стереометрия — теория, практика, разбор

В треугольной пирамиде $SABC$ высота $SH$ равна $\sqrt6$, основанием является равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB=BC=3$, $AC=2\sqrt6$, а тангенс угла между плоскостью $ABC$ и каждой из граней $SAB$ и $SBC$ равен $\frac{2\sqrt3}{3}$. Точка $H$ лежит внутри угла $ABC$.

а) Докажите, что центр описанной около пирамиды $SABC$ сферы лежит на луче $SH$.

б) Найдите тангенс угла между плоскостями $ABC$ и $SAC$.

В треугольной пирамиде $SABC$ высота $SH$ равна 0,5, основанием является равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB=BC=\sqrt5$, $AC=4$, а тангенс угла между плоскостью $ABC$ и каждой из граней $SAB$ и $SBC$ равен $\frac{\sqrt5}{10}$. Точка $H$ лежит внутри угла $ABC$.

а) Докажите, что центр описанной около пирамиды $SABC$ сферы лежит на луче $SH$.

б) Найдите тангенс угла между плоскостями $ABC$ и $SAC$.

Основанием прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AC$. Через точку $B$ параллельно прямой $AC$ провели плоскость $\alpha$, которая пересекла ребро $AA_1$ в точке $N$ и разбила призму на два многогранника с равными объёмами.

а) Докажите, что $AN:AA_1=3:4$.

б) Через точку $B$ параллельно прямой $AC$ провели плоскость, которая пересекла рёбра $AA_1$ и $CC_1$ в точках $K$ и $P$ соответственно так, что объём многогранника $ABCKP$ в 3 раза меньше объёма призмы $ABCA_1B_1C_1$. Найдите косинус угла между плоскостями $\alpha$ и $BKP$, если $AB:AA_1=6:7$.

В прямой призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ основанием является трапеция $ABCD$ с боковой стороной $AB$, $AB=8$, $BC=5$, $CD=17$, $AD=20$, $BD=DA_1$.

а) Докажите, что в призму $ABCDA_1B_1C_1D_1$ можно вписать шар.

б) Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $BDA_1$.

В прямой призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ основанием является трапеция $ABCD$ с боковой стороной $AB$, $AB=24$, $BC=21$, $CD=25$, $AD=28$, $BC_1=A_1C_1$.

а) Докажите, что в призму $ABCDA_1B_1C_1D_1$ можно вписать шар.

б) Найдите расстояние от точки $B_1$ до плоскости $BA_1C_1$.

Основанием прямой призмы $ABCDEA_1B_1C_1D_1E_1$ является пятиугольник $ABCDE$, в котором $ABCE$ и $OCDE$ — квадраты, где точка $O$ — пересечение прямых $AC$ и $BE$. Треугольник $AB_1D$ равнобедренный.

а) Докажите, что расстояния от точки $O$ до прямой $A_1C_1$, от точки $A_1$ до прямой $OC_1$ и от точки $C_1$ до прямой $OA_1$ равны.

б) Найдите косинус угла между прямой $DE_1$ и плоскостью $AEB_1$, если $AA_1=3$.

Основанием прямой призмы $ABCDEA_1B_1C_1D_1E_1$ является пятиугольник $ABCDE$, в котором $ABCE$ и $OCDE$ — квадраты, где точка $O$ — пересечение прямых $AC$ и $BE$. Треугольник $A_1OC_1$ равносторонний.

а) Докажите, что расстояния от точки $D$ до прямой $AB_1$ и от точки $B_1$ до прямой $AD$ равны.

б) Найдите синус угла между прямой $ED_1$ и плоскостью $BCA_1$, если $AB=\sqrt2$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ через точку $B$ параллельно прямой $AC$ провели плоскость $\alpha$, которая пересекла ребро $AA_1$ в точке $N$ и разбила призму на два многогранника с равными объёмами.

а) Докажите, что $AN:NA_1=3:1$.

б) Через точку $B$ параллельно прямой $AC$ провели плоскость, которая пересекла рёбра $AA_1$ и $CC_1$ в точках $K$ и $P$ соответственно так, что объём многогранника $ABCKP$ в 3 раза меньше объёма призмы $ABCA_1B_1C_1$. Найдите косинус угла между плоскостями $\alpha$ и $BKP$, если $AB:AA_1=3:2$.

Основанием пирамиды $SABCD$ является ромб $ABCD$, в котором $\angle ABC=120^\circ$ и $AB=2$. Высота пирамиды $SO$ равна $\sqrt7$, где точка $O$ — пересечение диагоналей основания. На ребре $CS$ отметили точку $K$ такую, что угол между прямой $DK$ и плоскостью основания равен $30^\circ$.

а) Докажите, что $SK:KC=2:1$.

б) Найдите расстояние между прямыми $DK$ и $BC$.

Основанием пирамиды $SABCD$ является ромб $ABCD$, в котором $\angle ABC=120^\circ$ и $AB=2$. Высота пирамиды $SO$ равна 3, где точка $O$ — пересечение диагоналей основания. На ребре $CS$ отметили точку $K$ такую, что угол между прямой $DK$ и плоскостью основания равен $60^\circ$.

а) Докажите, что $SK:KC=1:2$.

б) Найдите расстояние между прямыми $DK$ и $BC$.

В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром 4 и стороной основания $2\sqrt{3}$ вписан шар. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через её середину.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ и шар не имеют общих точек.

б) Найдите расстояние от центра шара до плоскости $\alpha$.

В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром $\sqrt{13}$ и стороной основания 6 вписан шар. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через её середину.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ и шар пересекаются более чем в одной точке.

б) Найдите площадь сечения шара плоскостью $\alpha$.

В прямой пятиугольной призме $ABCDEA_1B_1C_1D_1E_1$ высота равна $2\sqrt{3}$, треугольник $BCD$ — правильный, со стороной 6, а четырёхугольник $ABDE$ — равнобедренная трапеция со сторонами $AB = DE = 2$, $BD = 6$ и $AE = 4$.

а) Докажите, что плоскости $CA_1E_1$ и $AED_1$ перпендикулярны.

б) Найдите объём многогранника $CAED_1B_1$.

В прямой пятиугольной призме $ABCDEA_1B_1C_1D_1E_1$ высота $AA_1$ равна $3\sqrt{5}$, $BC = CD = 6$, а четырёхугольник $ABDE$ — прямоугольник со сторонами $AB = 5$ и $AE = 4\sqrt{5}$.

а) Докажите, что плоскости $CA_1E_1$ и $AED_1$ перпендикулярны.

б) Найдите объём многогранника $CAED_1B_1$.

В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$. Точки $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно прямой $SO$.

а) Докажите, что сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$ является трапецией.

б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AD = 8{,}5$, $BC = 7{,}5$, $SO = 6{,}5$, а прямая $SO$ перпендикулярна прямой $AD$.