Функция и её график в ЕГЭ по математике: теория, задачи и разбор

Графики функций на ЕГЭ профиль — это задание 12 на 1 балл: по рисунку восстанавливают формулу и находят значение функции или точку пересечения. Умение читать график нужно и в задании 9, где нарисована функция или её производная, и в параметре, задании 19.

Суть простыми словами

График функции — это все точки (x; f(x)). Чтобы по рисунку найти формулу, берут точки, лежащие в узлах клетчатой сетки, и подставляют их координаты.

Линейная функция y = kx + b: b — значение при x = 0, а k — наклон, равный Δy / Δx. Пример: прямая проходит через (0; 1) и (2; 5). Тогда b = 1, k = (5 − 1) : 2 = 2, формула y = 2x + 1.

Парабола y = ax² + bx + c: если a > 0, ветви вверх. Вершина в точке x = −b / (2a). Пример: y = x² − 4x + 3. Вершина x = 2, y = 4 − 8 + 3 = −1. Нули: x = 1 и x = 3.

Гипербола y = k/x: при k > 0 ветви в первой и третьей четвертях, при k < 0 — во второй и четвёртой. В демоверсии 2027 задание 12 как раз такое: нарисован график f(x) = k/x, нужно найти f(10). По точке графика в узле сетки находят k = 5, и f(10) = 5 : 10 = 0,5.

Сдвиги: y = f(x − 2) сдвигает график на 2 вправо, y = f(x) + 3 — на 3 вверх.

Где встречается на экзамене

Профиль, по 2027 году:

• Задание 12 ЕГЭ профиль — графики функций: по рисунку найти коэффициенты, значение или точку пересечения. Повышенный уровень, краткий ответ, 1 балл. В 2026 году это было задание 11;
• Задание 9 ЕГЭ профиль — график функции или производной: читать знак и экстремумы;
• Задание 19 ЕГЭ профиль — параметр: спецификация прямо требует «использовать свойства и графики функций» для уравнений, неравенств и задач с параметрами.

Базовый уровень: Задание 7 ЕГЭ база — по графику описать поведение функции, 1 балл.

Где ошибаются

1. Читают координаты «на глаз». Бери только точки, лежащие точно в узлах сетки.
2. Сдвигают в другую сторону. В y = f(x − 2) график уходит вправо, а не влево: аргумент «отстаёт» на 2.
3. Путают k и b. b — высота при x = 0, k — наклон. Подставь вторую точку для проверки.
4. Не смотрят знак k у гиперболы. От него зависит, в каких четвертях лежит график.

Шпаргалка за 30 секунд

Показательную функцию и логарифм удобно сравнить на одном экране в тренажёре «Как решать логарифмы: рост, график, децибелы»: графики там строятся зеркально. Прямая, парабола и гипербола отрабатываются на прототипах задания 12. А если хочется научиться видеть по графику ответ к параметру, приходи на пробное занятие.