Векторы и координаты в ЕГЭ по математике: теория, задачи и разбор

Векторы на ЕГЭ профиль дают один короткий номер — задание 2 на 1 балл, где по рисунку на клетчатой плоскости считают длину, сумму или скалярное произведение. Во второй части векторы и координаты становятся способом решения задач 15 и 18. В базовом ЕГЭ векторов нет: в кодификаторе элемент «Координаты и векторы» отмечен только для углублённого уровня.

Суть простыми словами

Вектор — направленный отрезок: у него есть длина и направление. Если известны точки A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), координаты вектора AB — это «конец минус начало»: (x₂ − x₁; y₂ − y₁). Длина вектора a(x; y) равна √(x² + y²). Сложение и вычитание идут покоординатно.

Скалярное произведение двух векторов — число, а не вектор: a · b = x₁x₂ + y₁y₂, или |a||b|cos φ, где φ — угол между ними. Если оно равно нулю, векторы перпендикулярны.

В демоверсии 2027 задание 2 устроено именно так: векторы a и b нарисованы на клетках, нужно найти их скалярное произведение. Сначала по клеткам выписывают координаты каждого вектора, потом перемножают и складывают.

Где встречается на экзамене

• Задание 2 ЕГЭ профиль — векторы: координаты, длина, сумма, произведение на число, скалярное произведение, угол между векторами. Первая часть, базовая сложность, краткий ответ, 1 балл.
• Задание 15 ЕГЭ профиль — стереометрическая задача на 3 балла: расстояния и углы удобно искать методом координат.
• Задание 18 ЕГЭ профиль — планиметрическая задача на 3 балла: координатный и векторный способы работают, когда фигура задана числами.

Номер 2 остался на своём месте и в 2027 году; сдвинулась нумерация начиная с шестого задания.

Где ошибаются

1. Путают порядок точек. AB = (конец минус начало), а BA имеет противоположный знак. Сначала подпиши, какая точка начало.
2. Забывают корень в длине. Длина — √(x² + y²), а не сумма квадратов.
3. Скалярное произведение записывают как вектор. Перемножили координаты по отдельности и оставили пару чисел. Результат — одно число x₁x₂ + y₁y₂.
4. Теряют деление в косинусе угла. cos φ = (a · b) / (|a||b|); числитель без знаменателя — это ещё не косинус.

Шпаргалка за 30 секунд

Векторы закрепляются только на рисунках с клетками — их много среди прототипов задания 2. Где метод координат пригодится во второй части, видно в теме многогранники ЕГЭ профиль. Если хочешь научиться вводить систему координат в задаче 15, это можно разобрать на пробном занятии.