Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00045661

Для дробной степени требуется $a-x\ge0$, а для логарифма $x^2-a^2\gt0$. Вместе это даёт $x\lt-|a|$. В частности, $t=a-x$ строго положительно.

Перенесём слагаемые и сгруппируем их. При $t=a-x$ уравнение принимает вид

$$t^{3/2}-5t-\left(-t+\frac15t^{3/2}\right)\log_5(x^2-a^2)=t(\sqrt t-5)\left(1-\frac15\log_5(x^2-a^2)\right)=0.$$

Так как $t\gt0$, остаются две ветви: $t=25$ либо $\log_5(x^2-a^2)=5$.

Первая даёт $x=a-25$. Аргумент логарифма равен $(a-25)^2-a^2=625-50a$, он положителен ровно при $a\lt25/2$. Условие $a-x\ge0$ здесь выполнено автоматически.

Вторая ветвь даёт $x^2-a^2=3125$, то есть $x=\pm\sqrt{a^2+3125}$. Положительный корень больше $|a|$ и не удовлетворяет $x\le a$. Отрицательный корень $-\sqrt{a^2+3125}$ всегда меньше $-|a|$ и допустим при любом параметре. Поэтому эта ветвь всегда даёт ровно один корень.

При $a\ge25/2$ первая ветвь недопустима и всего один корень. При $a\lt25/2$ получаем один корень только в случае совпадения двух ветвей: $a-25=-\sqrt{a^2+3125}$.

Левая часть здесь отрицательна, поэтому возведение в квадрат равносильно: $625-50a=3125$, откуда $a=-50$. Проверим: $a-25=-75$, а $-\sqrt{2500+3125}=-75$.

Итак, подходят $[25/2;+\infty)\cup\{-50\}$. На границе $a=25/2$ первая ветвь делает аргумент логарифма нулевым и исчезает, но вторая остаётся, поэтому граница включена.