Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00043826

Здесь уравнение с модулем, и при каждом знаке $x$ оно раскладывается на два линейных множителя. Корни удобно изобразить лучами на плоскости $(x;a)$ и считать точки пересечения с горизонталью.

Шаг 1. $x\ge0$: $2a^2+3ax-2x^2-8a+4x=0$. Первые три слагаемые раскладываются: $2a^2+3ax-2x^2=(2a-x)(a+2x)$. Оставшееся $-8a+4x=-4(2a-x)$. Выносим общий множитель:

$$(2a-x)(a+2x-4)=0\iff x=2a\ \text{или}\ x=\dfrac{4-a}{2}.$$

Шаг 2. $x\lt0$: $2a^2+3ax-2x^2-8a-16x=0$, оставшееся $-8a-16x=-8(a+2x)$:

$$(a+2x)(2a-x-8)=0\iff x=-\dfrac a2\ \text{или}\ x=2a-8.$$

Шаг 3. Плоскость $(x;a)$. Это четыре луча: $a=\dfrac x2$ и $a=4-2x$ при $x\ge0$; $a=-2x$ и $a=\dfrac{x+8}{2}$ при $x\lt0$. Горизонталь $a=\text{const}$ даёт корни.

Условия принадлежности промежуткам:

— $x=2a\ge0\iff a\ge0$; $x=\dfrac{4-a}{2}\ge0\iff a\le4$;

— $x=-\dfrac a2\lt0\iff a\gt0$; $x=2a-8\lt0\iff a\lt4$.

Все четыре корня существуют при $0\lt a\lt4$.

Шаг 4. Совпадения. Лучи одной полуплоскости пересекаются: $2a=\dfrac{4-a}{2}\iff a=0{,}8$; $-\dfrac a2=2a-8\iff a=3{,}2$. В этих случаях корней три.

Итак, подходят: $0\lt a\lt4$, $a\ne0{,}8$, $a\ne3{,}2$.

Проверим разложение для $x\ge0$, перемножив скобки: $(2a-x)(a+2x-4)=2a^2+4ax-8a-ax-2x^2+4x=2a^2+3ax-2x^2-8a+4x$ — совпало с левой частью при $x\ge0$. Для $x\lt0$: $(a+2x)(2a-x-8)=2a^2-ax-8a+4ax-2x^2-16x=2a^2+3ax-2x^2-8a-16x$ — тоже совпало.