Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00045662

Уравнение зависит от $x^2$. Положим $t=x^2$. Из корня следует $0\le t\le4$, а уравнение имеет вид $\sqrt{16-t^2}+2=a(t-9)$.

Левая часть положительна, $t-9$ отрицательно, поэтому $a\lt0$. Обозначим $b=-a\gt0$ и выразим параметр: $b=F(t)=(\sqrt{16-t^2}+2)/(9-t)$.

Каждое положительное значение $t$ даёт два корня $x=\pm\sqrt t$, а $t=0$ — только один. Поэтому нужно внимательно считать пересечения горизонтали $b$ с графиком $F$.

На концах $F(0)=6/9=2/3$, $F(4)=2/5$. При $0\lt t\lt4$ производная имеет знак выражения $N(t)=16-9t+2\sqrt{16-t^2}$, поскольку её знаменатель $(9-t)^2\sqrt{16-t^2}$ положителен.

Функция $N$ строго убывает: $N'(t)=-9-2t/\sqrt{16-t^2}\lt0$. При $t=0$ значение 24 положительно, а при приближении к 4 оно стремится к $-20$. Значит, $F$ сначала строго возрастает, затем строго убывает и имеет единственный внутренний максимум $B$.

Найдём $B$. Равенство $\sqrt{16-t^2}=b(9-t)-2$ после возведения в квадрат даёт $(1+b^2)t^2-2b(9b-2)t+(9b-2)^2-16=0$. В точке внутреннего максимума горизонталь касается графика, поэтому соответствующее квадратное уравнение имеет двойной корень.

Четверть дискриминанта равна $16(1+b^2)-(9b-2)^2=-65b^2+36b+12$. Отсюда $65B^2-36B-12=0$, и положительный корень $B=(18+4\sqrt{69})/65$. Второй корень отрицателен и не относится к $b\gt0$. Условие неотрицательности правой части корневого равенства выполнено в уже установленной внутренней точке максимума.

Если $2/5\le b\lt2/3$, есть ровно одно пересечение на убывающей ветви, причём $t\gt0$: получаем два корня $x$. При $b=2/3$ есть $t=0$ и ещё положительное $t$, то есть три корня. При $2/3\lt b\lt B$ есть два положительных $t$, то есть четыре корня. При $b=B$ одно положительное $t$ даёт два корня. При остальных $b$ пересечений нет.

Вернёмся к $a=-b$: $a\in(-2/3;-2/5]\cup\{-(18+4\sqrt{69})/65\}$. Проверим включённую границу $a=-2/5$: при $x=\pm2$ левая часть 2, правая $(-2/5)(4-9)=2$. Вторая ветвь графика при таком параметре корней не даёт.