Расположение… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00043829

Шаг 1. Из первого уравнения $x=y^2+2a-4$. Обозначим $t=y^2\ge0$, тогда $x=t+2a-4$, и второе уравнение:

$$t^2+(t+2a-4)^2=a^2-3a+4\iff 2t^2+(4a-8)t+3a^2-13a+12=0.$$

(Свободный член: $(2a-4)^2-a^2+3a-4=3a^2-13a+12$.)

Шаг 2. Сколько решений даёт $t$. Положительное $t$ даёт два решения ($y=\pm\sqrt t$, $x$ одно), $t=0$ — одно, отрицательное — ни одного. Ровно два решения системы: либо один положительный корень $t$, а второй отрицателен (или его нет), либо кратный положительный корень.

Шаг 3. Дискриминант.

$$\dfrac D4=(2a-4)^2-2(3a^2-13a+12)=-2a^2+10a-8=-2(a-1)(a-4).$$

Корни есть при $1\le a\le4$.

Шаг 4. Случаи. По теореме Виета сумма корней $4-2a$, произведение $\dfrac{3a^2-13a+12}{2}=\dfrac{(3a-4)(a-3)}{2}$.

— $a=1$: кратный корень $t=\dfrac{8-4}{4}=1\gt0$ — два решения. Подходит.

— $a=4$: кратный корень $t=-2\lt0$ — решений нет.

— Корни разных знаков: произведение отрицательно, $\dfrac43\lt a\lt3$ — два решения. Подходит.

— $a=\dfrac43$: корни $0$ и $\dfrac43$ — три решения. $a=3$: корни $0$ и $-2$ — одно решение.

— $1\lt a\lt\dfrac43$: произведение положительно, сумма $4-2a\gt0$ — оба корня положительны, четыре решения.

— $3\lt a\lt4$: произведение положительно, сумма отрицательна — решений нет.

Итак, подходят: $a=1$ или $\dfrac43\lt a\lt3$.

Проверим $a=2$: уравнение $2t^2-2=0$, $t=\pm1$, подходит $t=1$: $y=\pm1$, $x=1$. Подставим: $1-1=0=4-4$, $1+1=2=4-6+4$. Два решения.