Global EE

Задание 14 ЕГЭ по профильной математике: уравнения — теория, практика, разбор

В банке 280 задач этого номера с видеоразборами. Ответ — развёрнутое решение.

ПопробоватьРешать задачи номера →

Где ошибаются

  1. Теряют корни при замене. После t = cos x нужно проверить |t| ≤ 1: корень вне отрезка [−1; 1] решений не даёт.
  2. Теряют серию или знак. Из cos x = a следует x = ±arccos a + 2πk — обе серии. При приведении держите знак: cos(π/2 + x) = −sin x.
  3. Делят на функцию. Деление обеих частей на sin x или cos x теряет корни; выносите множитель за скобку.
  4. Неверно отбирают корни в пункте б. Подставляйте целые k в двойное неравенство или пользуйтесь окружностью; концы отрезка включены, если корень на конце.
  5. Пишут только ответ. «Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается 0 баллов» (демо-2027).

Адиль, 16.06.2026, разбор ЕГЭ-2026 (по нумерации 2026 — 13 задание): «Формулы приведения, формулы суммы/разности. В пункте б нормальные промежутки».

Шпаргалка за 30 секунд

Через формулы приведения и двойного угла

Приём
привести к одной функции
Ловушка
знак при приведении

Квадратное относительно sin x или cos x

Приём
замена t,
Ловушка
t

Сумма функций

Приём
вынести общий множитель, произведение = 0
Ловушка
деление на функцию

Отбор корней

Приём
окружность или неравенство по k
Ловушка
концы отрезка, целые k

За баллы: 2 — верны оба пункта; 1 — обоснованно решён пункт а или ответы неверны из-за вычислительной ошибки при верной последовательности всех шагов обоих пунктов; 0 — иначе.

Следующий шаг: потренируйтесь на окружности в тренажёре Тригонометрическая окружность онлайн: уравнения на круге, затем откройте 15 задание ЕГЭ профиль. Если нужен разбор отбора корней вживую, есть пробное занятие по математике.

Разбираем вместе

Видеоразбор 1

ID: 00013363

а) Решите уравнение $2\sin^3 x=\sqrt{2}\cos^2 x+2\sin x$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi;-\dfrac{5\pi}{2}\right]$

Источник: ФИПИ

Видеоразбор 2

ID: 00013202

а) Решите уравнение $2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)-\sqrt{3}\sin x=2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)-\sqrt{3}\cos x$

б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{9\pi}{2};-\dfrac{7\pi}{2}\right]$

Источник: ФИПИ

Видеоразбор 3

ID: 00013161

а) Решите уравнение $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+2x\right)+\sqrt{12}\,\sin^{2}x=0$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{13\pi}{4};\dfrac{19\pi}{4}\right]$

Источник: ФИПИ

Подтемы этого номера

Примеры заданий с ответами15

Пример 1

ID: 00045596

а) Решите уравнение

$$\log_{0{,}04}^2(2^{\sqrt x}-1)-\log_5(2^{\sqrt x}-1)+0{,}75=0.$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[5;\ 50]$.

Ответ

а) $x=(\log_2 6)^2$ или $x=(\log_2 126)^2$.

б) $x=(\log_2 6)^2$ или $x=(\log_2 126)^2$.

Решение

Источник: Сборник Ященко 2027

Пример 2

ID: 00045595

а) Решите уравнение

$$\log_{0{,}25}^2(5^{\sqrt x}-2)-2\log_2(5^{\sqrt x}-2)+3{,}75=0.$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[3;\ 7]$.

Ответ

а) $x=(\log_5 10)^2$ или $x=(\log_5 34)^2$.

б) $x=(\log_5 34)^2$.

Решение

Источник: Сборник Ященко 2027

Пример 3

ID: 00045594

а) Решите уравнение

$$4^{2+\cos^2 2x}-4^{\cos^2 2x}=9^{1+\cos^2 2x}+9^{\cos^2 2x}.$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac\pi2;\ \frac{3\pi}{2}\right]$.

Ответ

а) $x=\pi/8+\pi n/4$, $n\in\mathbb Z$.

б) $5\pi/8;7\pi/8;9\pi/8;11\pi/8$.

Решение

Источник: Сборник Ященко 2027

Пример 4

ID: 00045593

а) Решите уравнение

$$3^{\sin^2 3x}+3^{2+\sin^2 3x}=5^{\sin^2 3x}+5^{1+\sin^2 3x}.$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[3\pi;\ 4\pi]$.

Ответ

а) $x=\pi/6+\pi k/3$, $k\in\mathbb Z$.

б) $19\pi/6;\ 7\pi/2;\ 23\pi/6$.

Решение

Источник: Сборник Ященко 2027

Пример 5

ID: 00045592

а) Решите уравнение

$$15\cos2x+20\sin2x=7.$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2\pi;\ 3\pi]$.

Ответ

а) $x=\operatorname{arctg}2+\pi n$ или $x=-\operatorname{arctg}(2/11)+\pi n$, $n\in\mathbb Z$.

б) $2\pi+\operatorname{arctg}2;\ 3\pi-\operatorname{arctg}(2/11)$.

Решение

Источник: Сборник Ященко 2027

Пример 6

ID: 00045591

а) Решите уравнение

$$24\sin2x-7\cos2x=15.$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-3\pi;\ -2\pi]$.

Ответ

а) $x=\operatorname{arctg}(1/2)+\pi k$ или $x=\operatorname{arctg}(11/2)+\pi k$, $k\in\mathbb Z$.

б) $\operatorname{arctg}(1/2)-3\pi;\ \operatorname{arctg}(11/2)-3\pi$.

Решение

Источник: Сборник Ященко 2027

Пример 7

ID: 00045590

а) Решите уравнение

$$16^{x^4+x^2+3x+1{,}5}-16^{x^4-x^2-3x-0{,}5}+3\cdot2^{4x^4+1}=0.$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-4{,}4;\ 0{,}4]$.

Источник: Сборник Ященко 2027

Пример 8

ID: 00045589

а) Решите уравнение

$$4^{x^3-x^2+3x-0{,}5}+4^{x^3+x^2-3x+2{,}5}-5\cdot2^{2x^3+1}=0.$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0{,}4;\ 1{,}4]$.

Ответ

а) $\frac{3-\sqrt5}{2}$; $1$; $2$; $\frac{3+\sqrt5}{2}$.

б) $1$.

Решение

Источник: Сборник Ященко 2027

Пример 9

ID: 00045588

а) Решите уравнение

$$\log_{0{,}5}\left(\sin\left(x-\frac\pi4\right)-\sqrt2\sin\left(x-\frac\pi2\right)\right)=0{,}5.$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{11\pi}{2};\ -4\pi\right]$.

Ответ

а) $x=2\pi n$ или $x=\frac\pi2+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$.

б) $-\frac{11\pi}{2}$; $-4\pi$.

Решение

Источник: Сборник Ященко 2027

Пример 10

ID: 00045587

а) Решите уравнение

$$\log_2\left(\sqrt2\cos\left(x-\frac\pi2\right)-\cos\left(x-\frac\pi4\right)\right)=-0{,}5.$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-6\pi;\ -\frac{9\pi}{2}\right]$.

Ответ

а) $x=\pi+2\pi n$ или $x=\frac\pi2+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$.

б) $-\frac{11\pi}{2}$; $-5\pi$.

Решение

Источник: Сборник Ященко 2027

Пример 11

ID: 00043689

а) Решите уравнение $750^{\cos 3x}+6\cdot 125^{\frac{1}{3}+\cos 3x}=5^{5\cos 3x}+30^{1+\cos 3x}$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7\pi}{4}; -\frac{3\pi}{4}\right]$.

Ответ

а) $\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb{Z}$

б) $-\dfrac{3\pi}{2};\ -\dfrac{7\pi}{6};\ -\dfrac{5\pi}{6}$

Решение

Источник: Сборник Ященко 2026

Пример 12

ID: 00043688

а) Решите уравнение $2^{5\sin 5x}+6^{1+\sin 5x}=24^{\sin 5x}+3\cdot 8^{\frac{1}{3}+\sin 5x}$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}\right]$.

Ответ

а) $\dfrac{\pi n}{5},\ n\in\mathbb{Z}$

б) $\dfrac{13\pi}{5};\ \dfrac{14\pi}{5};\ 3\pi;\ \dfrac{16\pi}{5};\ \dfrac{17\pi}{5}$

Решение

Источник: Сборник Ященко 2026

Пример 13

ID: 00043687

а) Решите уравнение $5^{x+\sqrt{x}-1}+6\cdot 5^{x-\sqrt{x}+1}-5^{x+1}=0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[1; 2{,}56]$.

Ответ

а) $\left(\log_5 10\right)^{2};\ \left(\log_5 15\right)^{2}$

б) $\left(\log_5 10\right)^{2}$

Решение

Источник: Сборник Ященко 2026

Пример 14

ID: 00043686

а) Решите уравнение $4^{x+\sqrt{x}-1{,}5}+3\cdot 4^{x-\sqrt{x}+1{,}5}-4^{x+1}=0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2; 6]$.

Ответ

а) $2{,}25;\ \left(\log_4 24\right)^{2}$

б) $2{,}25;\ \left(\log_4 24\right)^{2}$

Решение

Источник: Сборник Ященко 2026

Пример 15

ID: 00043685

а) Решите уравнение $\sin 2x - 2\sin(-x) = 1 + \cos(-x)$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$.

Ответ

а) $\pi+2\pi k;\ \dfrac{\pi}{6}+2\pi k;\ \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$

б) $-\dfrac{19\pi}{6};\ -3\pi$

Решение

Источник: Сборник Ященко 2026

Все 280 задач в банке →

Соседние материалы

Темы для этого задания

Частые вопросы

Сколько баллов за 14 задание ЕГЭ профиль?

2 балла за верные оба пункта; 1 балл — за обоснованный пункт а или за вычислительную ошибку, если все шаги обоих пунктов верны.

Как решать тригонометрические уравнения в ЕГЭ?

Привести к одной функции, сделать замену, решить, записать серии и выбрать корни на отрезке по окружности.

Изменился ли номер 14 задания?

Да: в 2026 году тригонометрическое уравнение было 13 заданием, в 2027 — 14.

Разберёмся вместе?

Начни с пробного занятия — найди слабую тему и разбери её с преподавателем.

Попробовать