Исследование функции с помощью производной в ЕГЭ по математике: теория, задачи и разбор

Исследование функции на ЕГЭ профиль — это пять шагов, после которых известно, где функция растёт, где убывает и какое значение у неё наибольшее, причём график строить не нужно. В 2027 году этот алгоритм нужен в задании 9 и в новом задании 17, где функцию сначала составляют по условию.

Суть простыми словами

Алгоритм один для любой функции.

1. Найди область определения.
2. Посчитай f′(x) и найди критические точки: где f′(x) = 0 или производной нет.
3. Отметь их на прямой и определи знак f′ на каждом промежутке: плюс — функция растёт, минус — убывает.
4. Смена знака «+» на «−» — максимум, «−» на «+» — минимум.
5. Для наибольшего или наименьшего значения на отрезке сравни f на концах и в критических точках, которые попали внутрь.

Задание 17 устроено так же, только функцию дают словами. В демоверсии 2027 генератор с ЭДС 50 В и внутренним сопротивлением 1 Ом питает нагрузку R, и мощность выходит P(R) = 2500R / (1 + R)². Производная обнуляется при R = 1, слева от этой точки она положительна, справа отрицательна, значит это максимум: P = 2500 : 4 = 625 Вт.

Где встречается на экзамене

• Задание 9 ЕГЭ профиль — исследование по графику функции или производной: промежутки монотонности, точки экстремума, наибольшее и наименьшее значения. Базовый уровень, 1 балл.
• Задание 17 ЕГЭ профиль — прикладная задача на оптимум, функцию строят по условию. Развёрнутый ответ, 2 балла.
• Задание 19 ЕГЭ профиль — параметр. В спецификации у него коды содержания 2–4, то есть и начала анализа: свойства функции здесь иногда проще всего получить через производную. Высокий уровень, 4 балла.
• Задание 7 ЕГЭ база — в базовом экзамене поведение функции описывают по готовому графику, 1 балл.

Где ошибаются

1. Подставляют критическую точку вне отрезка. В примере x = 0 — тоже ноль производной, но в [1; 3] она не входит, и f(0) = 2 в сравнение не берут.
2. Не проверяют концы. Наибольшее значение примера достигается на конце, при x = 3, а не в критической точке.
3. Записывают в ответ x вместо f(x). На вопрос «найдите наибольшее значение» ответ 2, на вопрос «найдите точку минимума» ответ 2 — совпали случайно, а в другой задаче это разные числа.
4. В задаче 17 не доказывают, что найден максимум. Ноль производной надо дополнить знаками f′ слева и справа, иначе вывод «мощность наибольшая» ничем не обоснован.

Шпаргалка за 30 секунд

Сначала убедись, что уверенно считаешь производные: формулы и касательная — на странице темы производная ЕГЭ профиль. Потом бери задачи задания 17, а если не получается довести оптимум до ответа, разберём это вместе на пробном занятии.