Иррациональные уравнения в ЕГЭ по математике профиль — уравнения с неизвестной под корнем. Простые попадаются в задании 7 (в проекте демоверсии 2027 один из вариантов — √(99 − 7x) = 6), в базовом ЕГЭ — в задании 17, и везде решает одно умение: проверить корни.
Суть простыми словами
План решения всегда один: уединить корень, возвести обе части в квадрат, решить полученное уравнение и обязательно проверить корни.
Почему проверка. Возведение в квадрат «создаёт» лишние корни: уравнения √f = g и f = g² не равносильны. Равенство √f = g возможно только при g ≥ 0, потому что арифметический корень не бывает отрицательным.
Пример 1 из демо: √(99 − 7x) = 6. Возводим: 99 − 7x = 36, 7x = 63, x = 9. Проверка: √36 = 6. Верно.
Пример 2: √(x + 6) = x. Тогда x + 6 = x², то есть x² − x − 6 = 0, корни 3 и −2. Правая часть равна корню, а корень неотрицателен, значит x ≥ 0, и корень −2 отпадает. Остаётся x = 3: √9 = 3.
Пример 3 с корнем и слагаемым: √(x + 1) + 1 = x. Уединяем: √(x + 1) = x − 1, затем x + 1 = x² − 2x + 1, то есть x² − 3x = 0 и x = 0 или 3. Подходит только 3, так как x − 1 ≥ 0.
Где встречается на экзамене
7 задание ЕГЭ профиль
- Что там
- Простейшее уравнение: показательное, логарифмическое, иррациональное, квадратное или дробное; 1 балл
17 задание ЕГЭ база
- Что там
- Базовый ЕГЭ: простое уравнение, в демо среди типов есть иррациональное, например √(13 − x) = 3
В кодификаторе ЕГЭ иррациональные уравнения — элемент 2.2, общий для базового и профильного уровней.
Где ошибаются
- Не проверяют корни. Адиль разбирал в Telegram 29.06.2026 уравнение √(x + 2) = x: после возведения в квадрат выходят 2 и −1, и −1 посторонний. Его правило: «После возведения в степень подставляй корни в ИСХОДНОЕ уравнение, а не в то, что получилось после преобразований».
- Возводят в квадрат, не уединив корень. Из √(x + 1) + 1 = x получится x + 1 + 2√(x + 1) + 1 = x²: корень остался в удвоенном произведении, и уравнение стало только сложнее.
- Думают, что ОДЗ отсеет лишнее. В √(x + 6) = x корень −2 проходит ОДЗ (x + 6 = 4 ≥ 0), но не проходит проверку: √4 = 2, а не −2. Отсекает его условие x ≥ 0 на правую часть.
- Считают, что √9 = ±3. Арифметический корень — одно неотрицательное число: √9 = 3. Два значения ±3 — это корни уравнения x² = 9.
Шпаргалка за 30 секунд
- Уединить корень в одной части уравнения.
- Записать условие: правая часть неотрицательна (для корня чётной степени).
- Возвести обе части в нужную степень и решить получившееся уравнение.
- Подставить каждый корень в ИСХОДНОЕ уравнение.
- Записать в ответ только те, что прошли проверку; в первой части ответ — число.
Реши √(13 − x) = 3 из базового демо (должно выйти 4) и сделай проверку, затем открой 7 задание ЕГЭ профиль и 17 задание ЕГЭ база. Когда проверка корней станет привычкой, переходи к теме Иррациональные неравенства ЕГЭ профиль: там вместо проверки нужны условия на знак. Как оформлять отбор корней в развёрнутых заданиях, можно спросить на пробном занятии.