Задание 18 ЕГЭ по математике №00028825

Разберёмся сначала, чего от нас хотят. «Система имеет хотя бы одно решение на отрезке $[3;4]$» — значит, найдётся хотя бы одно число $x$ из этого отрезка, которое удовлетворяет всем трём неравенствам одновременно. Не все $x$, а хотя бы одно.

Метод назову словами: сведение каждого неравенства к ограничению на $x$ и выбор самой выгодной точки отрезка (это рассуждение о монотонности). Идея простая: каждое неравенство превращаем в условие вида «$x$ не меньше чего-то» или «$x$ не больше чего-то». Тогда становится видно, какой конец отрезка выгоднее всего проверять, и вместо перебора всех точек хватит одной. Графический метод здесь был бы громоздким: линий три, и все зависят от параметра.

Шаг 1. Разбираемся с первым неравенством $ax\ge 2$. На отрезке $[3;4]$ число $x$ положительно.

Случай 1 — когда $a\le 0$. Тогда произведение $ax$ не больше нуля, а нам нужно, чтобы оно было не меньше двух. Это невозможно. Значит, отрицательные и нулевой параметр сразу отпадают, и дальше считаем $a\gt 0$.

Случай 2 — когда $a\gt 0$. Делим обе части на положительное $a$ (знак неравенства при этом не меняется) и получаем $x\ge \dfrac{2}{a}$.

Шаг 2. Первое важное следствие. Наш $x$ обязан лежать на отрезке, то есть $x\le 4$. Вместе с $x\ge \dfrac{2}{a}$ это возможно, только если $\dfrac{2}{a}\le 4$. Умножим обе части на положительное $a$: $2\le 4a$, откуда $a\ge \dfrac{1}{2}$.

Значит, при $0\lt a\lt \dfrac{1}{2}$ решений на отрезке нет вовсе: первое неравенство требует $x$ больше четырёх. Дальше работаем только с $a\ge \dfrac{1}{2}$.

Шаг 3. Проверим, мешает ли третье неравенство. Из $3x\le 2a+11$ получаем $x\le \dfrac{2a+11}{3}$. Посмотрим, насколько это ограничение жёсткое при $a\ge \dfrac{1}{2}$:

$$\dfrac{2a+11}{3}\ge \dfrac{2\cdot\frac{1}{2}+11}{3}=\dfrac{1+11}{3}=\dfrac{12}{3}=4.$$

То есть правая граница не меньше четырёх, а весь наш отрезок заканчивается на четырёх. Вывод: при $a\ge \dfrac{1}{2}$ третье неравенство выполняется для любой точки отрезка автоматически и на ответ не влияет.

Шаг 4. Разбираемся со вторым неравенством $\sqrt{x-1}\gt a$. Сначала об области определения: под корнем должно быть неотрицательное число, то есть $x\ge 1$ — на отрезке $[3;4]$ это выполнено с запасом.

Так как мы уже знаем, что $a\gt 0$, обе части неравенства неотрицательны, и его можно возвести в квадрат без потери смысла: $x-1\gt a^{2}$, то есть $x\gt a^{2}+1$.

Шаг 5. Теперь главный ход — какую точку отрезка выгоднее всего взять. Соберём все три условия для $a\ge \dfrac{1}{2}$:

$$x\ge \dfrac{2}{a},\qquad x\gt a^{2}+1,\qquad x\le \dfrac{2a+11}{3}.$$

Первые два условия — это требования «$x$ побольше»: чем больше $x$, тем легче они выполняются. Третье условие — требование «$x$ поменьше», но мы уже выяснили, что на нашем отрезке оно выполняется всегда. Значит, если решение на отрезке вообще существует, то самая правая точка $x=4$ точно подойдёт. А если не подходит даже она, то не подойдёт никакая.

Иными словами, задача сводится к простой проверке одной точки: годится ли $x=4$.

Шаг 6. Подставляем $x=4$ во все три неравенства.

Первое: $4a\ge 2$, то есть $a\ge \dfrac{1}{2}$ — это как раз то условие, которое у нас уже есть.

Третье: $3\cdot 4=12\le 2a+11$, то есть $1\le 2a$, снова $a\ge \dfrac{1}{2}$ — совпадает с прежним.

Второе: $\sqrt{4-1}\gt a$, то есть $\sqrt{3}\gt a$, значит $a\lt \sqrt{3}$.

Шаг 7. Собираем условия вместе: $a\ge \dfrac{1}{2}$ и $a\lt \sqrt{3}$. Так как $\dfrac{1}{2}=0{,}5$, а $\sqrt{3}\approx 1{,}73$, промежуток непустой.

Проверим границы. При $a=\dfrac{1}{2}$ берём $x=4$: первое даёт $\dfrac{1}{2}\cdot 4=2\ge 2$ — верно (неравенство нестрогое, так что край годится); второе даёт $\sqrt{3}\approx 1{,}73\gt 0{,}5$ — верно; третье даёт $12\le 1+11=12$ — верно. Значит, $a=\dfrac{1}{2}$ входит в ответ.

При $a=\sqrt{3}$ второе неравенство требует $\sqrt{x-1}\gt \sqrt{3}$, то есть $x\gt 4$, а таких точек на отрезке нет. Значит, $\sqrt{3}$ в ответ не входит.

Проверим себя ещё в одной точке: возьмём $a=1$ и $x=4$. Первое: $1\cdot 4=4\ge 2$ — верно. Второе: $\sqrt{3}\approx 1{,}73\gt 1$ — верно. Третье: $12\le 2+11=13$ — верно. Решение есть, всё сходится.