Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения a , при каждом из которых система…

Разберёмся сначала, чего от нас хотят. «Система имеет хотя бы одно решение на отрезке [3;4]» — значит, найдётся хотя бы одно число x из этого отрезка, которое удовлетворяет всем трём неравенствам одновременно. Не все x, а хотя бы одно.

Метод назову словами: сведение каждого неравенства к ограничению на x и выбор самой выгодной точки отрезка (это рассуждение о монотонности). Идея простая: каждое неравенство превращаем в условие вида «x не меньше чего-то» или «x не больше чего-то». Тогда становится видно, какой конец отрезка выгоднее всего проверять, и вместо перебора всех точек хватит одной. Графический метод здесь был бы громоздким: линий три, и все зависят от параметра.

Шаг 1. Разбираемся с первым неравенством ax\ge 2. На отрезке [3;4] число x положительно.

Случай 1 — когда a\le 0. Тогда произведение ax не больше нуля, а нам нужно, чтобы оно было не меньше двух. Это невозможно. Значит, отрицательные и нулевой параметр сразу отпадают, и дальше считаем a\gt 0.

Случай 2 — когда a\gt 0. Делим обе части на положительное a (знак неравенства при этом не меняется) и получаем x\ge \dfrac{2}{a}.

Шаг 2. Первое важное следствие. Наш x обязан лежать на отрезке, то есть x\le 4. Вместе с x\ge \dfrac{2}{a} это возможно, только если \dfrac{2}{a}\le 4. Умножим обе части на положительное a: 2\le 4a, откуда a\ge \dfrac{1}{2}.

Значит, при 0\lt a\lt \dfrac{1}{2} решений на отрезке нет вовсе: первое неравенство требует x больше четырёх. Дальше работаем только с a\ge \dfrac{1}{2}.

Шаг 3. Проверим, мешает ли третье неравенство. Из 3x\le 2a+11 получаем x\le \dfrac{2a+11}{3}. Посмотрим, насколько это ограничение жёсткое при a\ge \dfrac{1}{2}:

\dfrac{2a+11}{3}\ge \dfrac{2\cdot\frac{1}{2}+11}{3}=\dfrac{1+11}{3}=\dfrac{12}{3}=4.

То есть правая граница не меньше четырёх, а весь наш отрезок заканчивается на четырёх. Вывод: при a\ge \dfrac{1}{2} третье неравенство выполняется для любой точки отрезка автоматически и на ответ не влияет.

Шаг 4. Разбираемся со вторым неравенством \sqrt{x-1}\gt a. Сначала об области определения: под корнем должно быть неотрицательное число, то есть x\ge 1 — на отрезке [3;4] это выполнено с запасом.

Так как мы уже знаем, что a\gt 0, обе части неравенства неотрицательны, и его можно возвести в квадрат без потери смысла: x-1\gt a^{2}, то есть x\gt a^{2}+1.

Шаг 5. Теперь главный ход — какую точку отрезка выгоднее всего взять. Соберём все три условия для a\ge \dfrac{1}{2}:

x\ge \dfrac{2}{a},\qquad x\gt a^{2}+1,\qquad x\le \dfrac{2a+11}{3}.

Первые два условия — это требования «x побольше»: чем больше x, тем легче они выполняются. Третье условие — требование «x поменьше», но мы уже выяснили, что на нашем отрезке оно выполняется всегда. Значит, если решение на отрезке вообще существует, то самая правая точка x=4 точно подойдёт. А если не подходит даже она, то не подойдёт никакая.

Иными словами, задача сводится к простой проверке одной точки: годится ли x=4.

Шаг 6. Подставляем x=4 во все три неравенства.

Первое: 4a\ge 2, то есть a\ge \dfrac{1}{2} — это как раз то условие, которое у нас уже есть.

Третье: 3\cdot 4=12\le 2a+11, то есть 1\le 2a, снова a\ge \dfrac{1}{2} — совпадает с прежним.

Второе: \sqrt{4-1}\gt a, то есть \sqrt{3}\gt a, значит a\lt \sqrt{3}.

Шаг 7. Собираем условия вместе: a\ge \dfrac{1}{2} и a\lt \sqrt{3}. Так как \dfrac{1}{2}=0{,}5, а \sqrt{3}\approx 1{,}73, промежуток непустой.

Проверим границы. При a=\dfrac{1}{2} берём x=4: первое даёт \dfrac{1}{2}\cdot 4=2\ge 2 — верно (неравенство нестрогое, так что край годится); второе даёт \sqrt{3}\approx 1{,}73\gt 0{,}5 — верно; третье даёт 12\le 1+11=12 — верно. Значит, a=\dfrac{1}{2} входит в ответ.

При a=\sqrt{3} второе неравенство требует \sqrt{x-1}\gt \sqrt{3}, то есть x\gt 4, а таких точек на отрезке нет. Значит, \sqrt{3} в ответ не входит.

Проверим себя ещё в одной точке: возьмём a=1 и x=4. Первое: 1\cdot 4=4\ge 2 — верно. Второе: \sqrt{3}\approx 1{,}73\gt 1 — верно. Третье: 12\le 2+11=13 — верно. Решение есть, всё сходится.