Уравнения с… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00028752

Мешает здесь модуль: пока он есть, уравнение не разложить на множители. Раскроем его по определению, разобрав два случая — когда $x$ неотрицателен и когда отрицателен. В каждом случае получится обычное уравнение, которое разложится на скобки.

Случай $x\geqslant 0$. Тогда $|x|=x$, и уравнение превращается в $a^{2}-ax-2x^{2}-6a+3x+9x=0$, то есть $a^{2}-ax-2x^{2}-6a+12x=0$.

Первые три слагаемых — квадратный трёхчлен относительно $a$, и он раскладывается так: $a^{2}-ax-2x^{2}=(a-2x)(a+x)$ (проверить можно раскрытием скобок). Остаток равен $-6a+12x=-6(a-2x)$. Выносим общий множитель $(a-2x)$:

$$(a-2x)(a+x-6)=0.$$

Отсюда $x=\dfrac{a}{2}$ или $x=6-a$. Но условие случая — $x\geqslant 0$, поэтому первый корень существует при $a\geqslant 0$, а второй — при $a\leqslant 6$.

Случай $x\lt 0$. Тогда $|x|=-x$, и уравнение принимает вид $a^{2}-ax-2x^{2}-6a+3x-9x=0$, то есть $a^{2}-ax-2x^{2}-6a-6x=0$.

Пользуемся тем же разложением $a^{2}-ax-2x^{2}=(a-2x)(a+x)$, а остаток равен $-6a-6x=-6(a+x)$. Выносим общую скобку $(a+x)$:

$$(a+x)(a-2x-6)=0.$$

Отсюда $x=-a$ или $x=\dfrac{a-6}{2}$. Условие случая строгое, $x\lt 0$, поэтому первый корень существует при $a\gt 0$, а второй — при $a\lt 6$.

Когда корней ровно четыре. Кандидатов четыре, но каждый живёт при своих значениях параметра. Чтобы существовали все сразу, нужно выполнить одновременно $a\geqslant 0$, $a\leqslant 6$, $a\gt 0$ и $a\lt 6$. Самые строгие из них — последние два, поэтому получаем $0\lt a\lt 6$.

Теперь проверим, все ли четыре числа различны. Первые два корня неотрицательны, вторые два отрицательны, поэтому корень из «положительной» пары никогда не совпадёт с корнем из «отрицательной». Значит, сравнивать надо только внутри пар.

Положительные совпадут, если $\dfrac{a}{2}=6-a$. Умножим на $2$: $a=12-2a$, отсюда $3a=12$ и $a=4$.

Отрицательные совпадут, если $-a=\dfrac{a-6}{2}$. Умножим на $2$: $-2a=a-6$, отсюда $3a=6$ и $a=2$.

При $a=4$ и при $a=2$ различных корней остаётся только три, поэтому эти два значения из промежутка надо выколоть.

Проверим себя на $a=3$: корни равны $x=1{,}5$, $x=3$, $x=-3$ и $x=-1{,}5$ — все четыре разные, как и требуется.

Собираем ответ. Берём промежуток $0\lt a\lt 6$ и выбрасываем из него две точки, $2$ и $4$. Остаётся объединение трёх интервалов: $(0;2)\cup(2;4)\cup(4;6)$.