Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение a в квадрате минус ax минус 2x в квадрате минус 6a плюс 3x плюс 9 модуль x модуль равно 0 имеет четыре различных корня.

a принадлежит левая круглая скобка 0; 2 правая круглая скобка объединение левая круглая скобка 2; 4 правая круглая скобка объединение левая круглая скобка 4; 6 правая круглая скобка

Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение a в…

№2. Задание 18

ID: 00028752

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение $a^{2}-ax-2x^{2}-6a+3x+9|x|=0$ имеет четыре различных корня.

Источник: ФИПИ

Решение

Мешает здесь модуль: пока он есть, уравнение не разложить на множители. Раскроем его по определению, разобрав два случая — когда $x$ неотрицателен и когда отрицателен. В каждом случае получится обычное уравнение, которое разложится на скобки.

Случай $x\geqslant 0$ . Тогда $|x|=x$ , и уравнение превращается в $a^{2}-ax-2x^{2}-6a+3x+9x=0$ , то есть $a^{2}-ax-2x^{2}-6a+12x=0$ .

Первые три слагаемых — квадратный трёхчлен относительно $a$ , и он раскладывается так: $a^{2}-ax-2x^{2}=(a-2x)(a+x)$ (проверить можно раскрытием скобок). Остаток равен $-6a+12x=-6(a-2x)$ . Выносим общий множитель $(a-2x)$ :

$(a-2x)(a+x-6)=0.$

Отсюда $x=\dfrac{a}{2}$ или $x=6-a$ . Но условие случая — $x\geqslant 0$ , поэтому первый корень существует при $a\geqslant 0$ , а второй — при $a\leqslant 6$ .

Случай $x\lt 0$ . Тогда $|x|=-x$ , и уравнение принимает вид $a^{2}-ax-2x^{2}-6a+3x-9x=0$ , то есть $a^{2}-ax-2x^{2}-6a-6x=0$ .

Пользуемся тем же разложением $a^{2}-ax-2x^{2}=(a-2x)(a+x)$ , а остаток равен $-6a-6x=-6(a+x)$ . Выносим общую скобку $(a+x)$ :

$(a+x)(a-2x-6)=0.$

Отсюда $x=-a$ или $x=\dfrac{a-6}{2}$ . Условие случая строгое, $x\lt 0$ , поэтому первый корень существует при $a\gt 0$ , а второй — при $a\lt 6$ .

Когда корней ровно четыре. Кандидатов четыре, но каждый живёт при своих значениях параметра. Чтобы существовали все сразу, нужно выполнить одновременно $a\geqslant 0$ , $a\leqslant 6$ , $a\gt 0$ и $a\lt 6$ . Самые строгие из них — последние два, поэтому получаем $0\lt a\lt 6$ .

Теперь проверим, все ли четыре числа различны. Первые два корня неотрицательны, вторые два отрицательны, поэтому корень из «положительной» пары никогда не совпадёт с корнем из «отрицательной». Значит, сравнивать надо только внутри пар.

Положительные совпадут, если $\dfrac{a}{2}=6-a$ . Умножим на $2$ : $a=12-2a$ , отсюда $3a=12$ и $a=4$ .

Отрицательные совпадут, если $-a=\dfrac{a-6}{2}$ . Умножим на $2$ : $-2a=a-6$ , отсюда $3a=6$ и $a=2$ .

При $a=4$ и при $a=2$ различных корней остаётся только три, поэтому эти два значения из промежутка надо выколоть.

Проверим себя на $a=3$ : корни равны $x=1{,}5$ , $x=3$ , $x=-3$ и $x=-1{,}5$ — все четыре разные, как и требуется.

Собираем ответ. Берём промежуток $0\lt a\lt 6$ и выбрасываем из него две точки, $2$ и $4$ . Остаётся объединение трёх интервалов: $(0;2)\cup(2;4)\cup(4;6)$ .

Ответ

$a\in(0;2)\cup(2;4)\cup(4;6)$