Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00043689

Во всех показателях стоит $\cos 3x$. Обозначим $c=\cos 3x$, $-1\leqslant c\leqslant 1$, и разложим уравнение на множители.

Пункт а. Разберём степени:

$$6\cdot125^{\frac13+c}=6\cdot125^{\frac13}\cdot125^{c}=6\cdot5\cdot125^{c}=30\cdot125^{c},\qquad 5^{5c}=3125^{c},\qquad 30^{1+c}=30\cdot30^{c}.$$

Уравнение: $750^{c}+30\cdot125^{c}=3125^{c}+30\cdot30^{c}$. Разложим большие основания: $750=25\cdot30$, $3125=25\cdot125$. Перенесём всё влево:

$$25^{c}\cdot30^{c}-30\cdot30^{c}-25^{c}\cdot125^{c}+30\cdot125^{c}=0.$$

Из первых двух слагаемых вынесем $30^{c}$, из последних двух — $-125^{c}$:

$$30^{c}\left(25^{c}-30\right)-125^{c}\left(25^{c}-30\right)=0\quad\Leftrightarrow\quad\left(25^{c}-30\right)\left(30^{c}-125^{c}\right)=0.$$

Первая скобка. $25^{c}=30$. Но при $c\leqslant 1$ имеем $25^{c}\leqslant 25\lt 30$. Решений нет.

Вторая скобка. $30^{c}=125^{c}$. Разделим на $125^{c}\gt 0$: $\left(\dfrac{30}{125}\right)^{c}=1$. Основание $\dfrac{30}{125}$ не равно $1$, поэтому показатель равен нулю: $c=0$.

$\cos 3x=0$: $3x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$, $x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi n}{3}$, $n\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Переведём в двенадцатые доли $\pi$: $x=\dfrac{(2+4n)\pi}{12}$, отрезок $\left[-\dfrac{21\pi}{12};\,-\dfrac{9\pi}{12}\right]$. Нужно $-21\leqslant 2+4n\leqslant -9$, то есть $-23\leqslant 4n\leqslant -11$ и $-5{,}75\leqslant n\leqslant -2{,}75$. Подходят $n=-5,-4,-3$:

$$\dfrac{-18\pi}{12}=-\dfrac{3\pi}{2},\qquad \dfrac{-14\pi}{12}=-\dfrac{7\pi}{6},\qquad \dfrac{-10\pi}{12}=-\dfrac{5\pi}{6}.$$

Проверим $c=0$ в исходном уравнении: слева $750^{0}+6\cdot125^{\frac13}=1+6\cdot5=31$, справа $5^{0}+30^{1}=1+30=31$. Верно.