Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00043687

Все степени — с основанием $5$, и в каждом показателе есть слагаемое $x$. Вынесем общий множитель $5^{x}$, а оставшееся уравнение решим заменой.

Пункт а. ОДЗ: $x\geqslant 0$ (под корнем).

Вынесем $5^{x}$ за скобку: $5^{x}\left(5^{\sqrt x-1}+6\cdot5^{-\sqrt x+1}-5\right)=0$. Множитель $5^{x}$ положителен и нулём не бывает, значит, нулю равна скобка.

Обозначим $z=5^{\sqrt x-1}$, $z\gt 0$. Тогда $5^{-\sqrt x+1}=\dfrac1z$:

$$z+\dfrac6z-5=0.$$

Умножим на $z\gt 0$: $z^{2}-5z+6=0$, $D=25-24=1$, $z=\dfrac{5\pm1}{2}$, то есть $z=3$ или $z=2$.

$z=2$: $\sqrt x-1=\log_5 2$, $\sqrt x=1+\log_5 2=\log_5 5+\log_5 2=\log_5 10$. Это положительно, поэтому $x=\left(\log_5 10\right)^{2}$.

$z=3$: аналогично $\sqrt x=\log_5 5+\log_5 3=\log_5 15$ и $x=\left(\log_5 15\right)^{2}$.

Пункт б. Отрезок $[1;\,2{,}56]$. Заметим, что $1=1^{2}$ и $2{,}56=1{,}6^{2}$. Квадратный корень возрастает, поэтому $1\leqslant x\leqslant 2{,}56$ равносильно $1\leqslant\sqrt x\leqslant 1{,}6$. Будем сравнивать значения $\sqrt x$.

$\log_5 10\geqslant 1$, потому что $10\geqslant 5$. Сравним с $1{,}6=\dfrac85$: $\log_5 10\leqslant\dfrac85$ равносильно $10\leqslant 5^{\frac85}$, а после возведения в пятую степень — $10^{5}\leqslant 5^{8}$, то есть $100\,000\leqslant 390\,625$. Верно, первый корень в отрезке.

$\log_5 15$: так же сравниваем $15^{5}$ и $5^{8}$. $15^{5}=759\,375\gt 390\,625$, значит, $\log_5 15\gt 1{,}6$ и $x=\left(\log_5 15\right)^{2}\gt 2{,}56$. Второй корень в отрезок не входит.

Проверим первый корень: при $\sqrt x=\log_5 10$ получаем $z=5^{\sqrt x-1}=\dfrac{5^{\log_5 10}}{5}=\dfrac{10}{5}=2$, и $2+\dfrac62-5=0$. Верно.