Преобразование выражений в ЕГЭ по математике профиль — это упрощение и вычисление значений выражений со степенями, корнями, логарифмами и тригонометрическими функциями. В профиле тема стоит в задании 8, а в базовом ЕГЭ в заданиях 14 и 16.
Суть простыми словами
Задача всегда одна: свести сложное выражение к числу, не считая лишнего. Для этого держи под рукой четыре набора формул.
Степени: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Корни: √a·√b = √(ab), (√a)² = a. Разность квадратов: (√7 − √3)(√7 + √3) = 7 − 3 = 4.
Логарифмы: сумма превращается в логарифм произведения, разность в логарифм частного, а aˡᵒᵍₐᵇ = b. Пример из демо-2027: log₀,₆ 50 − log₀,₆ 18 = log₀,₆ (25/9) = −2, потому что 0,6 = 3/5 и (3/5)⁻² = 25/9. Ещё: 5ˡᵒᵍ⁵⁷ = 7.
Тригонометрия: sin²α + cos²α = 1 и sin 2α = 2 sin α cos α. Пример: 2 sin 15°·cos 15° = sin 30° = 1/2.
Порядок работы: сначала замечаем структуру (нет ли разности квадратов, двойного угла, одинаковых оснований), потом применяем формулу, потом считаем. Пробовать все формулы подряд не нужно.
Так устроено задание 8 демо: 3 sin 164° / (sin 82°·sin 8°). Сначала двойной угол: sin 164° = 2 sin 82° cos 82°, и sin 82° сокращается. Остаётся 6 cos 82° / sin 8°, а cos 82° = sin 8° по формуле приведения. Ответ 6.
Где встречается на экзамене
8 задание ЕГЭ профиль
- Что там
- Значение выражения со степенями, корнями, логарифмами и тригонометрией; 1 балл
14 задание ЕГЭ профиль
- Что там
- В тригонометрических уравнениях нужны формулы приведения и двойного угла
14 задание ЕГЭ база
- Что там
- Базовый ЕГЭ: числовое выражение с десятичными числами и дробями
16 задание ЕГЭ база
- Что там
- Базовый ЕГЭ: корни, степени, логарифм, синус
В кодификаторе ЕГЭ это элемент 1.8 «Преобразование выражений»; в профиле 2026 года то же задание стояло под номером 7.
Где ошибаются
- Останавливаются на полпути. В задании 8 демо двойной угол замечают, но после сокращения остаётся cos 82° / sin 8°. Эта дробь равна 1, потому что 82° + 8° = 90°; без формулы приведения ответа 6 не получить.
- Вычитают под логарифмом. logₐ x − logₐ y = logₐ(x/y), а не logₐ(x − y).
- Берут не тот знак. При приведении знак определяет четверть: cos(π/2 + x) = −sin x.
- Раскладывают корень суммы. √(a + b) не равно √a + √b.
- Не замечают корень в основании логарифма. В базовом демо логарифм числа 5⁶ по основанию √5 равен 12: √5 = 5^(1/2), и показатель 6 делят на ½. Прочитав основание как 5, получают 6.
Шпаргалка за 30 секунд
Степени
- Приём
- aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- Ловушка
- отрицательный показатель
Корни
- Приём
- √a·√b = √(ab), (√a)² = a
- Ловушка
- √(a + b)
Логарифмы
- Приём
- сумма — произведение, разность — частное
- Ловушка
- разные основания
Тригонометрия
- Приём
- sin² + cos² = 1, sin 2α = 2 sin α cos α
- Ловушка
- знак по четверти
Основание-корень
- Приём
- log по основанию √a = 2·logₐ
- Ловушка
- потерять множитель 2
Реши два варианта задания 8 из демо (ответы 6 и −2) в 8 задание ЕГЭ профиль, а на базовом уровне — 16 задание ЕГЭ база с логарифмом по основанию √5. Если логарифмы пока кажутся набором правил, посмотри, откуда они берутся, на тренажёре Как решать логарифмы: рост, график, децибелы. Формулы приведения не обязательно зубрить: на пробном занятии их выводят по единичной окружности.