Свойства степеней в ЕГЭ по математике профиль нужны почти везде: в значениях выражений (задание 8), в простейших показательных уравнениях (задание 7) и в показательных неравенствах (задание 16). В базовом ЕГЭ степени встречаются в заданиях 16 и 17.
Суть простыми словами
Основа та же, что в 9 классе: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, (ab)ⁿ = aⁿbⁿ, a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
Новое для 10–11 классов — степень с рациональным показателем: a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) при a > 0. Примеры: 8^(2/3) = (∛8)² = 4; 16^(−1/4) = 1/16^(1/4) = 1/2. Условие a > 0 важно: для отрицательного основания дробный показатель не определён.
Главный приём в показательных уравнениях — привести обе части к одному основанию и приравнять показатели. Пример: 9ˣ = 27. Записываем 3²ˣ = 3³, значит 2x = 3 и x = 1,5.
Если основание в показательном неравенстве больше 1, знак сохраняется, если от 0 до 1 — меняется.
В вычислениях выбирай наименьшие простые основания: 4, 8, 16 записывай как степени двойки, 9 и 27 как степени тройки.
Иногда общее основание прячется в замене. Во втором варианте задания 16 демо-2027 все степени выражаются через 8ˣ, и после замены t = 8ˣ показательное неравенство становится дробно-рациональным. А 64 полезно помнить в трёх видах: 2⁶ = 4³ = 8².
Где встречается на экзамене
7 задание ЕГЭ профиль
- Что там
- Простейшее показательное уравнение; в демо 4^(x − 4) = 64, ответ 7
8 задание ЕГЭ профиль
- Что там
- Значение выражения со степенями, корнями, логарифмами
16 задание ЕГЭ профиль
- Что там
- 2 балла; во втором варианте демо — показательное неравенство с заменой t = 8ˣ
16 задание ЕГЭ база
- Что там
- Базовый ЕГЭ: выражения с корнями и степенями
17 задание ЕГЭ база
- Что там
- Базовый ЕГЭ: простое уравнение, в том числе показательное, например 2^(9 − x) = 8
В кодификаторе ЕГЭ степени с целым и рациональным показателем — элемент 1.4, общий для обоих уровней.
Где ошибаются
- Применяют правила к сумме. 2ˣ + 2ˣ = 2·2ˣ = 2ˣ⁺¹, а не 2²ˣ: показатели складывают только при умножении степеней.
- Путают знак дробного показателя. 16^(−1/4) = 1/2, а не −2: минус в показателе переворачивает число, а не меняет его знак.
- Не приводят к одному основанию. В 4^(x − 4) = 64 нужно записать 64 как 4³.
- Берут отрицательное основание в дробной степени. Степень a^(m/n) определена при a > 0.
- Забывают поменять знак. В показательном неравенстве с основанием меньше 1 знак меняется.
Шпаргалка за 30 секунд
Сумма одинаковых степеней
- Формула
- 2ˣ + 2ˣ = 2ˣ⁺¹
- Ловушка
- написать 2²ˣ
Отрицательный дробный показатель
- Формула
- a^(−m/n) = 1 / ⁿ√(aᵐ)
- Ловушка
- получить отрицательное число
Дробный показатель
- Формула
- a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ), a > 0
- Ловушка
- a < 0
Показательное уравнение
- Формула
- общее основание, приравнять показатели
- Ловушка
- не привели
Показательное неравенство
- Формула
- знак по основанию
- Ловушка
- основание < 1
Реши 4^(x − 4) = 64 и 2^(9 − x) = 8 из демо профиля и базы (ответы 7 и 6) и проверь, что в обоих случаях хватило одного общего основания. Потом переходи к значениям выражений в 8 задание ЕГЭ профиль и к простейшим уравнениям в 7 задание ЕГЭ профиль. Как растёт показательная функция и почему у неё нет отрицательных значений, видно на тренажёре Как решать логарифмы: рост, график, децибелы, а замену t = 8ˣ из задания 16 разбирают на пробном занятии.