Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00045592

Раскроем двойные углы: $15(\cos^2x-\sin^2x)+40\sin x\cos x=7(\cos^2x+\sin^2x)$. После переноса получается $8\cos^2x+40\sin x\cos x-22\sin^2x=0$.

Если $\cos x=0$, левая часть равна $-22$, поэтому такие значения не подходят. Делим на $2\cos^2x$ и вводим $t=\operatorname{tg} x$: $4+20t-11t^2=0$.

Разложение $11t^2-20t-4=(t-2)(11t+2)$ даёт $t=2$ или $t=-2/11$. Значит, все корни — $\operatorname{arctg}2+\pi n$ и $-\operatorname{arctg}(2/11)+\pi n$.

Пусть $\alpha=\operatorname{arctg}2$ и $\beta=\operatorname{arctg}(2/11)$; оба угла лежат в $(0;\pi/2)$. На $[2\pi;3\pi]$ первое семейство даёт только $2\pi+\alpha$, второе — только $3\pi-\beta$. Соседние значения отличаются на $\pi$ и выходят за отрезок.

Проверка: для $t=2$ значения $\cos2x=-3/5$, $\sin2x=4/5$, и $-9+16=7$. Для $t=-2/11$ получаем $\cos2x=117/125$, $\sin2x=-44/125$, и $(1755-880)/125=7$.