Ло­га­риф­ми… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00045596

Область определения: $x\ge0$ и $2^{\sqrt x}-1\gt0$, то есть $x\gt0$. Введём $t=\log_5(2^{\sqrt x}-1)$. Так как $0{,}04=5^{-2}$, второй логарифм равен $-t/2$.

Получаем $t^2/4-t+3/4=0$, или $(t-1)(t-3)=0$. Значит, $t=1$ либо $t=3$.

В первом случае $2^{\sqrt x}-1=5$, поэтому $\sqrt x=\log_2 6$ и $x=(\log_2 6)^2$. Во втором $2^{\sqrt x}-1=125$, поэтому $x=(\log_2 126)^2$. Оба логарифма положительны, так что решения допустимы.

Проверим отбор. Так как $2^{5/2}=\sqrt{32}\lt6\lt8=2^3$, первый корень лежит между $25/4$ и $9$, значит входит в $[5;50]$. Поскольку $64\lt126\lt128$, второй лежит между $36$ и $49$ и тоже входит в отрезок.

Подстановка в уравнение по $t$ даёт соответственно $1/4-1+3/4=0$ и $9/4-3+3/4=0$. Все исходные аргументы положительны.