Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00013363

Пункт а. Заменим $\cos^2 x=1-\sin^2 x$ и перенесём всё влево:

$$2\sin^3 x-\sqrt2(1-\sin^2 x)-2\sin x=0$$

Группировка по $(\sin^2 x-1)$:

$$(\sin^2 x-1)(2\sin x+\sqrt2)=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\sin x=1\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+2\pi n;\ \sin x=-1\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

$$\sin x=-\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- 4 \pi;\,- \frac{5 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- 4 \pi;\,- \frac{5 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$- \frac{7 \pi}{2}, - \frac{11 \pi}{4}, - \frac{5 \pi}{2}$$