Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00045588

Логарифмическое равенство равносильно равенству его аргумента числу $(1/2)^{1/2}=1/\sqrt2$. Аргумент тогда автоматически положителен, как требует область определения.

Раскроем синус разности: $\sin(x-\pi/4)=(\sin x-\cos x)/\sqrt2$, а $\sin(x-\pi/2)=-\cos x$. Поэтому аргумент равен $(\sin x+\cos x)/\sqrt2$.

Получаем $\sin x+\cos x=1$, или $\sqrt2\sin(x+\pi/4)=1$. Следовательно, $x+\pi/4=\pi/4+2\pi n$ или $3\pi/4+2\pi n$. Отсюда $x=2\pi n$ или $x=\pi/2+2\pi n$.

Для первого семейства условие $-11\pi/2\le2\pi n\le-4\pi$ даёт $-11/4\le n\le-2$. Единственное целое $n=-2$, то есть $x=-4\pi$.

Для второго семейства $-11/2\le1/2+2n\le-4$, поэтому $-3\le n\le-9/4$. Здесь $n=-3$, и $x=-11\pi/2$.

Проверим: при $-4\pi$ синус равен 0, косинус 1; при $-11\pi/2$ синус 1, косинус 0. Аргумент в обоих случаях равен $1/\sqrt2$, и его логарифм по основанию $1/2$ равен $1/2$. Обе точки являются включёнными концами отрезка.