Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00045594

Положим $t=\cos^22x$, $0\le t\le1$. Вынесение общих степеней даёт $(16-1)4^t=(9+1)9^t$, то есть $15\cdot4^t=10\cdot9^t$.

Разделим на положительное $10\cdot4^t$: $(9/4)^t=3/2=(9/4)^{1/2}$. Поэтому $t=1/2$.

Из $\cos^22x=1/2$ по формуле двойного угла получаем $\cos4x=2\cos^22x-1=0$. Следовательно, $4x=\pi/2+\pi n$ и $x=\pi/8+\pi n/4$.

Отбор на $[\pi/2;3\pi/2]$ даёт $4\le1+2n\le12$, то есть $n=2,3,4,5$. Подставляем эти $n$ в формулу $x=\pi/8+\pi n/4$: при $n=2$ получаем $5\pi/8$, при $n=3$ — $7\pi/8$, при $n=4$ — $9\pi/8$, при $n=5$ — $11\pi/8$.

Проверим исходное равенство при $t=1/2$: слева $4^{5/2}-4^{1/2}=32-2=30$, справа $9^{3/2}+9^{1/2}=27+3=30$.