Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00043685

Сначала разберёмся с минусами в аргументах, а потом заметим, что в левой и правой частях прячется одно и то же выражение $1+\cos x$.

Пункт а. Синус нечётный: $\sin(-x)=-\sin x$; косинус чётный: $\cos(-x)=\cos x$. Проверка на угле $x=\dfrac{\pi}{2}$: $\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-1=-\sin\dfrac{\pi}{2}$, а $\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=0=\cos\dfrac{\pi}{2}$.

Раскроем и синус двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$:

$$2\sin x\cos x+2\sin x=1+\cos x\quad\Leftrightarrow\quad 2\sin x\left(\cos x+1\right)=1+\cos x.$$

Слева и справа стоит одна и та же скобка. Сокращать на неё нельзя — она равна нулю в левой точке окружности, и так потеряются корни. Перенесём всё влево и вынесем скобку:

$$2\sin x\left(1+\cos x\right)-\left(1+\cos x\right)=0\quad\Leftrightarrow\quad \left(1+\cos x\right)\left(2\sin x-1\right)=0.$$

Случай 1. $\cos x=-1$: одна точка окружности, $x=\pi+2\pi k$.

Случай 2. $\sin x=\dfrac12$: точки $\dfrac{\pi}{6}$ и $\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}$, $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$, $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Отрезок $\left[-\dfrac{7\pi}{2};\,-2\pi\right]$. Левый конец $-\dfrac{7\pi}{2}=-4\pi+\dfrac{\pi}{2}$ на окружности — верхняя точка, правый $-2\pi$ — правая точка; дуга проходит II, III и IV четверти. Для точного сравнения переведём всё в шестые доли: $\left[-\dfrac{21\pi}{6};\,-\dfrac{12\pi}{6}\right]$.

Серия $\pi+2\pi k=\dfrac{(6+12k)\pi}{6}$: $-21\leqslant 6+12k\leqslant -12$, то есть $-27\leqslant 12k\leqslant -18$, $k=-2$: точка $-\dfrac{18\pi}{6}=-3\pi$.

Серия $\dfrac{\pi}{6}+2\pi k=\dfrac{(1+12k)\pi}{6}$: $-22\leqslant 12k\leqslant -13$ — целых $k$ нет (точка I четверти на этой дуге не лежит).

Серия $\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k=\dfrac{(5+12k)\pi}{6}$: $-26\leqslant 12k\leqslant -17$, $k=-2$: точка $\dfrac{(5-24)\pi}{6}=-\dfrac{19\pi}{6}$.

Проверим $x=-3\pi$: $\sin 2x=\sin(-6\pi)=0$, $\sin(-x)=\sin 3\pi=0$, $\cos(-x)=\cos3\pi=-1$. Слева $0-0=0$, справа $1+(-1)=0$. Верно.