Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00045589

Все степени определены при любом действительном $x$. Разделим уравнение на положительное число $2^{2x^3+1}$: это уберёт общую кубическую часть показателей.

Первый член станет $2^{-2x^2+6x-2}$, второй — $2^{2x^2-6x+4}$. Введём $u=x^2-3x+1$ и $t=4^u\gt0$. Тогда уравнение принимает вид $1/t+4t-5=0$.

Умножим на положительное $t$: $4t^2-5t+1=0$, то есть $(4t-1)(t-1)=0$. Отсюда $t=1/4$ или $t=1$.

При $t=1/4$ получаем $u=-1$, значит, $x^2-3x+2=0$ и $x=1$ или 2. При $t=1$ получаем $u=0$, то есть $x^2-3x+1=0$, откуда $x=(3\pm\sqrt5)/2$.

Отберём корни на $[0{,}4;1{,}4]$. Корень 1 подходит, корень 2 слишком велик. Так как $\sqrt5\gt2{,}2$ (ведь $5\gt4{,}84$), меньший иррациональный корень $(3-\sqrt5)/2\lt0{,}4$. Больший больше $5/2$, поэтому тоже не подходит.

Проверим выбранный корень 1 в исходном уравнении: показатели первых степеней равны $2{,}5$ и $1{,}5$. Получаем $32+8-5\cdot8=0$. Все преобразования были равносильны.