Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00043686

Во всех трёх степенях основание $4$, а в показателях встречаются $x$ и $\sqrt x$. Слагаемое $x$ есть в каждом показателе — от него избавимся делением, а с $\sqrt x$ справимся заменой.

Пункт а. ОДЗ: из-за корня $x\geqslant 0$.

Разделим обе части на $4^{x}$ — это число положительно, корни не теряются. При делении степеней показатели вычитаются:

$$4^{\sqrt x-1{,}5}+3\cdot4^{-\sqrt x+1{,}5}-4=0.$$

Показатели $\sqrt x-1{,}5$ и $-\sqrt x+1{,}5$ противоположны. Обозначим $z=4^{\sqrt x-1{,}5}$, $z\gt 0$; тогда $4^{-\sqrt x+1{,}5}=\dfrac1z$:

$$z+\dfrac3z-4=0.$$

Умножим на $z\gt 0$: $z^{2}-4z+3=0$, откуда $z=1$ или $z=3$ (сумма корней $4$, произведение $3$; проверка: $1-4+3=0$, $9-12+3=0$).

$z=1$: $4^{\sqrt x-1{,}5}=4^{0}$, значит, $\sqrt x-1{,}5=0$, $\sqrt x=1{,}5$ и $x=2{,}25$.

$z=3$: $\sqrt x-1{,}5=\log_4 3$, $\sqrt x=1{,}5+\log_4 3$. Число $1{,}5$ запишем логарифмом: $4^{1{,}5}=\left(\sqrt4\right)^{3}=8$, то есть $1{,}5=\log_4 8$. Тогда $\sqrt x=\log_4 8+\log_4 3=\log_4 24$. Это положительное число, поэтому $x=\left(\log_4 24\right)^{2}$.

Пункт б. Отрезок $[2;\,6]$. Число $2{,}25$ в нём лежит.

Оценим $\log_4 24$. Так как $16\lt 24\lt 64$, имеем $2\lt\log_4 24\lt 3$, поэтому $x=\left(\log_4 24\right)^{2}\gt 4\gt 2$ — левый конец не мешает.

Правый конец: нужно $\left(\log_4 24\right)^{2}\leqslant 6$, то есть $\log_4 24\leqslant\sqrt6$. Так как $2{,}4^{2}=5{,}76\lt 6$, имеем $2{,}4\lt\sqrt6$; достаточно показать, что $\log_4 24\lt 2{,}4$, то есть $24\lt 4^{2{,}4}$.

Дробный показатель уберём, возведя в пятую степень: нужно $24^{5}\lt 4^{12}$. Разложим: $24^{5}=2^{15}\cdot3^{5}=2^{15}\cdot243$, а $4^{12}=2^{24}=2^{15}\cdot2^{9}=2^{15}\cdot512$. Так как $243\lt 512$, неравенство верно. Значит, $x\lt 2{,}4^{2}=5{,}76\lt 6$, и второй корень тоже в отрезке.

Проверим $x=2{,}25$: $\sqrt x=1{,}5$, и показатели равны $x+0$, $x+0$ и $x+1$. Левая часть: $4^{x}+3\cdot4^{x}-4\cdot4^{x}=(1+3-4)\cdot4^{x}=0$. Верно.