Арифметический корень в ЕГЭ по математике: теория, задачи и разбор

Свойства корней на ЕГЭ профиль редко проверяют «в чистом виде», зато без них не решить вычисление в задании 8 и уравнение с корнем в заданиях 7 и 14. Здесь собраны правила для корня n-й степени, а не только квадратного, и условия, при которых каждое из них работает.

Суть простыми словами

Арифметический корень n-й степени из числа a ≥ 0 (запись ⁿ√a) — неотрицательное число, которое в n-й степени даёт a. Корень нечётной степени определён и для отрицательных чисел: ∛(−8) = −2. Корень чётной степени из отрицательного числа не существует.

Свойства при a ≥ 0, b ≥ 0: ⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√b; ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b при b > 0; (ⁿ√a)ᵐ = ⁿ√(aᵐ); ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐⁿ√a. Связь со степенью: ⁿ√a = a^(1/n), поэтому все правила корней — это правила степеней с дробным показателем.

Примеры. ∛16 · ∛4 = ∛64 = 4. 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4. ⁴√81 = 3, потому что 3⁴ = 81. Корень чётной степени из квадрата даёт модуль: √((−3)²) = 3, ⁴√((−2)⁴) = 2.

Через дробный показатель удобно упрощать «многоэтажные» выражения: √a · ∛a = a^(1/2 + 1/3) = a^(5/6) = ⁶√(a⁵).

Где встречается на экзамене

Профиль 2027:

• Задание 8 ЕГЭ профиль — вычисления и преобразования выражений со степенями и логарифмами, корни входят сюда как степени с дробным показателем. 1 балл. В 2026 году номер был седьмым.
• Задание 7 ЕГЭ профиль — простейшие уравнения, среди них иррациональные: в демоверсии 2027 есть √(99 − 7x) = 6, откуда 99 − 7x = 36 и x = 9. 1 балл.
• Задание 14 ЕГЭ профиль — уравнение с развёрнутым ответом, 2 балла; иррациональные уравнения относятся к его разделу кодификатора «Уравнения и неравенства».

Базовый уровень: Задание 16 ЕГЭ база и Задание 14 ЕГЭ база — вычисления и преобразования; Задание 17 ЕГЭ база — простейшие уравнения, спецификация прямо называет среди них иррациональные. Каждое по 1 баллу.

Где ошибаются

1. Пишут √(a²) = a. Верно √(a²) = |a|, и то же для любой чётной степени: ⁴√((−2)⁴) = 2, а не −2.
2. Складывают показатели корней. Корень из корня перемножает показатели: ∛(√a) = ⁶√a, а не ⁵√a.
3. Вносят минус под корень. −2√3 = −√12: минус остаётся снаружи, а под корень заходит только 4 · 3.
4. Не помнят про нечётную степень. «Из отрицательного корня нет» — правда только для чётных n. Уравнение ∛x = −2 имеет корень x = −8, а √x = −2 корней не имеет.

Шпаргалка за 30 секунд

Корни в задании 8 почти всегда соседствуют со степенями, поэтому следующая тема — свойства степеней ЕГЭ профиль. Уравнения с корнем и посторонние корни — на странице иррациональные уравнения ЕГЭ профиль. Если хочется проверить, как ты считаешь, приходи на пробное занятие.