Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00043688

Во всех показателях стоит одно и то же выражение $\sin 5x$. Обозначим его $s$ и будем решать показательное уравнение относительно $s$, помня, что $-1\leqslant s\leqslant 1$.

Пункт а. Пусть $s=\sin 5x$. Разберём каждую степень на «число × степень с показателем $s$»:

$$2^{5s}=32^{s},\qquad 6^{1+s}=6\cdot6^{s},\qquad 3\cdot8^{\frac13+s}=3\cdot8^{\frac13}\cdot8^{s}=3\cdot2\cdot8^{s}=6\cdot8^{s}.$$

Уравнение: $32^{s}+6\cdot6^{s}=24^{s}+6\cdot8^{s}$. Перенесём всё влево и сгруппируем попарно:

$$\left(32^{s}-24^{s}\right)-6\left(8^{s}-6^{s}\right)=0.$$

Все основания — произведения двоек и троек: $32=8\cdot4$, $24=8\cdot3$, $8=2\cdot4$, $6=2\cdot3$. Значит, $32^{s}-24^{s}=8^{s}\left(4^{s}-3^{s}\right)$ и $8^{s}-6^{s}=2^{s}\left(4^{s}-3^{s}\right)$. Получаем

$$\left(4^{s}-3^{s}\right)\left(8^{s}-6\cdot2^{s}\right)=0.$$

Проверка раскрытием: $4^{s}8^{s}-6\cdot4^{s}2^{s}-3^{s}8^{s}+6\cdot3^{s}2^{s}=32^{s}-6\cdot8^{s}-24^{s}+6\cdot6^{s}$ — совпало.

Первая скобка. $4^{s}=3^{s}$. Разделим на $3^{s}\gt 0$: $\left(\dfrac43\right)^{s}=1$, а степень числа, не равного $1$, равна единице только при нулевом показателе. Значит, $s=0$.

Вторая скобка. $8^{s}=6\cdot2^{s}$. Разделим на $2^{s}\gt 0$: $4^{s}=6$, то есть $s=\log_4 6$. Но $6\gt 4$, поэтому $\log_4 6\gt 1$, а синус больше единицы не бывает. Решений нет.

Остаётся $\sin 5x=0$: $5x=\pi n$, $x=\dfrac{\pi n}{5}$, $n\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Нужно $\dfrac{5\pi}{2}\leqslant\dfrac{\pi n}{5}\leqslant\dfrac{7\pi}{2}$. Умножим на $\dfrac{5}{\pi}$: $12{,}5\leqslant n\leqslant 17{,}5$. Подходят $n=13,14,15,16,17$, то есть $\dfrac{13\pi}{5}$, $\dfrac{14\pi}{5}$, $3\pi$, $\dfrac{16\pi}{5}$, $\dfrac{17\pi}{5}$.

Проверим $s=0$ в исходном уравнении: слева $2^{0}+6^{1}=1+6=7$, справа $24^{0}+3\cdot8^{\frac13}=1+3\cdot2=7$. Верно.