Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00045593

Обозначим $t=\sin^2 3x$, тогда $0\le t\le1$. Слева вынесем $3^t$, справа — $5^t$: $(1+9)3^t=(1+5)5^t$.

Получаем $10\cdot3^t=6\cdot5^t$, поэтому $(5/3)^t=5/3$. Основание больше единицы, значит $t=1$.

Теперь $\sin^23x=1$, то есть $\sin3x=\pm1$. Все такие углы записываются как $3x=\pi/2+\pi k$, поэтому $x=\pi/6+\pi k/3$.

Для отбора на $[3\pi;4\pi]$ умножим неравенство на $6/\pi$: $18\le1+2k\le24$. Отсюда $8{,}5\le k\le11{,}5$, то есть $k=9,10,11$.

Получаем $19\pi/6$, $7\pi/2$, $23\pi/6$. Проверка: при каждом корне $\sin^23x=1$, обе стороны исходного уравнения равны $3+27=5+25=30$.