Ло­га­риф­ми… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00045595

Для существования выражения нужны $x\ge0$ и $5^{\sqrt x}-2\gt0$. Введём $t=\log_2(5^{\sqrt x}-2)$. Тогда логарифм по основанию $0{,}25=2^{-2}$ равен $-t/2$.

Уравнение принимает вид $t^2/4-2t+15/4=0$, то есть $t^2-8t+15=(t-3)(t-5)=0$. Поэтому $t=3$ или $t=5$.

В первом случае $5^{\sqrt x}-2=8$, значит $\sqrt x=\log_5 10$ и $x=(\log_5 10)^2$. Во втором $5^{\sqrt x}-2=32$, значит $x=(\log_5 34)^2$. Оба логарифма положительны, поэтому обратный переход к квадратному корню верен.

Для отбора без округления заметим: $10\lt5^{3/2}$, поскольку $100\lt125$. Значит, первый корень меньше $9/4\lt3$ и не подходит.

Для второго $25\lt34\lt5^{5/2}$: правое неравенство следует из $34^2=1156\lt3125$. Поэтому $2\lt\log_5 34\lt5/2$ и $4\lt x\lt25/4\lt7$. Второй корень входит в $[3;7]$.

Проверка исходного уравнения по $t$: при $3$ и $5$ квадратный многочлен равен нулю, а аргументы логарифмов $8$ и $32$ положительны.