Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00045587

Сначала избавимся от логарифма. Его аргумент должен быть положительным; равенство логарифма числу $-1/2$ равносильно равенству аргумента положительному числу $2^{-1/2}=1/\sqrt2$.

Используем формулы $\cos(x-\pi/2)=\sin x$ и $\cos(x-\pi/4)=(\cos x+\sin x)/\sqrt2$. Тогда уравнение превращается в

$$\frac{\sin x-\cos x}{\sqrt2}=\frac1{\sqrt2},\qquad \sin x-\cos x=1.$$

Слева можно собрать синус разности: $\sin x-\cos x=\sqrt2\sin(x-\pi/4)$. Поэтому $\sin(x-\pi/4)=\sqrt2/2$.

Синус равен $\sqrt2/2$ при углах $\pi/4+2\pi n$ и $3\pi/4+2\pi n$. Прибавим $\pi/4$: $x=\pi/2+2\pi n$ или $x=\pi+2\pi n$, где $n$ целое.

Отберём корни первого семейства: $-6\le1/2+2n\le-9/2$. Получаем $-13/4\le n\le-5/2$, единственное целое $n=-3$, и $x=-11\pi/2$.

Во втором семействе $-6\le1+2n\le-9/2$, откуда $-7/2\le n\le-11/4$. И здесь $n=-3$, поэтому $x=-5\pi$.

Для проверки: у первого найденного корня $\sin x=1$, $\cos x=0$, у второго $\sin x=0$, $\cos x=-1$. В обоих случаях аргумент логарифма равен $1/\sqrt2\gt0$, исходное уравнение выполнено.