Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00045591

Двойные углы можно выразить через $\operatorname{tg} x$, но сначала проверим, можно ли делить на $\cos^2x$. Если $\cos x=0$, то $\sin2x=0$, $\cos2x=-1$ и левая часть равна $7$, а не $15$. Такие значения корнями не являются.

Теперь положим $t=\operatorname{tg} x$. Формулы $\sin2x=2t/(1+t^2)$ и $\cos2x=(1-t^2)/(1+t^2)$ дают $48t-7+7t^2=15+15t^2$.

Получаем $4t^2-24t+11=0$. Дискриминант равен $576-176=400$, поэтому $t=(24\pm20)/8$: $t=1/2$ или $t=11/2$.

Все корни записываются двумя семействами: $x=\operatorname{arctg}(1/2)+\pi k$ и $x=\operatorname{arctg}(11/2)+\pi k$, $k\in\mathbb Z$.

Для каждого из двух углов $\alpha=\operatorname{arctg} t$ верно $0\lt\alpha\lt\pi/2$. Условие $-3\pi\le\alpha+\pi k\le-2\pi$ допускает только $k=-3$. Так получаем два корня пункта б.

Проверка подстановкой: при $t=1/2$ имеем $\sin2x=4/5$, $\cos2x=3/5$, и $24\cdot4/5-7\cdot3/5=15$. При $t=11/2$ получаем $\sin2x=44/125$, $\cos2x=-117/125$ и $(1056+819)/125=15$.