Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00013202

Пункт а. Раскроем $2\cos\!\left(x-\tfrac{\pi}{3}\right)=\cos x+\sqrt3\sin x$ и $2\sin\!\left(x+\tfrac{\pi}{3}\right)=\sin x+\sqrt3\cos x$:

$$\cos x=\sin x$$

Делим на $\cos x\neq0$:

$$\operatorname{tg} x=1$$

Выпишем все серии корней:

$$\operatorname{tg} x=1\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{9 \pi}{2};\,- \frac{7 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- \frac{9 \pi}{2};\,- \frac{7 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$- \frac{15 \pi}{4}$$